Kezdőlap


Feladat:	C.484	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Ábrány Miklós
Füzet:	1998/szeptember, 345 - 346. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Egyenes körkúpok, Gömb és részei, Szögfüggvények a térben, C gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1997/november: C.484

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Jelölje a kúp csúcsát $A$ , magasságának talppontját $C$ , a gömb középpontját $O$ , sugarát $ϱ$ , az alapkör sugarát $r$ , és legyen $A O = x$ .

A kúp térfogata:

V_{k} = \frac{r^{2} π m}{3}

.
A gömb térfogata:

V_{g} = \frac{4 ϱ^{3} π}{3}

.
Így

\frac{V_{g}}{V_{k}} = \frac{4 ϱ^{3}}{r^{2} m}

. Az

A B C

és az

A O D

derékszögű háromszögekből

r = (x + ϱ) tg α

; innen

x = \frac{ϱ}{sin α}

helyettesítéssel

\begin{matrix} r = tg α (\frac{ϱ}{sin α} + ϱ) = \frac{ϱ (sin α + 1)}{cos α}, m = x + ϱ = \frac{ϱ}{sin α} + ϱ = \frac{ϱ (sin α + 1)}{sin α}, \end{matrix}

ezért

\begin{matrix} \begin{matrix} \frac{V_{g}}{V_{k}} = \frac{4 ϱ^{3}}{{[\frac{ϱ (sin α + 1)}{cos α}]}^{2} \frac{ϱ (sin α + 1)}{sin α}} = \frac{4 cos^{2} α sin α}{{(1 + sin α)}^{3}} = \frac{4 sin α (1 - sin α)}{{(1 + sin α)}^{2}} . \end{matrix} \end{matrix}

Ezzel a feladatot megoldottuk.

Megjegyzés. A feladat eredményét más szögfüggvény felhasználásával is megkaphattuk volna. A különböző képletek egymásba alakíthatók a szögfüggvények közti összefüggések felhasználásával.