Feladat: C.481 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: könnyű
Füzet: 1998/május, 277 - 278. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Konstruktív megoldási módszer, Logikai feladatok, C gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1997/november: C.481

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Szemeljük ki a társaság egyik tagját. Visszaülés után az eredeti ülésrendhez képest két másik szomszédja lett, így a társaság legalább öttagú volt. Megmutatjuk, hogy ha a társaság legalább öttagú, akkor lehetséges a feladatban megfogalmazott módon le tudnak ülni egy kerek asztal köré.
Legyen a társaság létszáma 2n+1, illetve 2n+2, attól függően, hogy páratlan vagy páros sokan vannak. Jelöljük a tagokat az eredeti ülésrendben a következőképpen:

bn,bn-1,...,b1,b1,a,c1,c2,...,cn-1,cn,(d)
ahol a a kiszemelt tag és d akkor szerepel, ha a létszám páros. Amikor visszaülnek, azaz a leül valahova, legyenek a szomszédai b2 és c2. Ezek után rendre (az a-tól távolodó sorrendben) bi mellé üljön ci+1, és ci mellé üljön bi+1 (i=2, 3, ..., n+1). Most az ülésrend:
...,bn,...,b4,c3,b2,a,c2,b3,c4,...,cn,...
Amikor a sor végére érünk, cn mellé üljön b1, és bn mellé c1. Ha d nem szerepel, akkor ezzel befejeztük az ültetést, egyébként d-t b1 és c1 közé ültetjük.
Most a-nak és d-nek is más szomszédai vannak, mint előbb. A továbbiakban még a bi-k, illetve ci-k szomszédait kell megnézni. A szimmetria miatt elegendő az egyikükét, pl. a bi-ket. Eredetileg az ő szomszédai: bi-1 és bi+1, vagy (ha i=n és a társaság létszáma páratlan, akkor) cn voltak. Visszaülés után viszont bi szomszédjai ci-1 és ci+1 (vagy ha i=n és a társaság létszáma páratlan) c1 lesznek. Tehát a visszaülésnél valóban mindenkinek más szomszédai lesznek.
n=5 esetben könnyű megadni az ülésrendeket.
Az első esetben pl.
a második esetben:
 
Megjegyzés. A megoldás során mi megkonstruáltunk egy megfelelő ülésrendet, s ezzel beláttuk, hogy lehetséges volt az, hogy a társaság tagjai véletlenül éppen úgy ültek le, ahogy azt a feladat szövege elmondta.