Kezdőlap


Feladat:	N.151	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Bérczi Gergely , Juhász András , Kun Gábor , Lippner Gábor , Lukács László , Terpai Tamás , Végh A. László
Füzet:	1998/március, 165. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Számsorozatok, Konvergens sorok, Nehéz feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1997/október: N.151

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Mivel pozitív tagú sorokról van szó, a konvergencia helyett elég a vele ekvivalens korlátosságot vizsgálni.
Felhasználjuk, hogy tetszőleges $x$ pozitív valós számra és $n \geq 3$ egészre

\begin{matrix} \begin{matrix} x^{1 - \frac{1}{ln n}} & < \frac{e^{2}}{n^{2}} + e^{2} x . & (1) \end{matrix} \end{matrix}

Ha ugyanis

0 < x < \frac{1}{n^{2}}

, akkor

1 - \frac{1}{ln n} > 0

és

x^{1 - \frac{1}{ln n}} < {(\frac{1}{n^{2}})}^{1 - \frac{1}{ln n}} = \frac{e^{2}}{n^{2}}

, ha pedig

x \geq \frac{1}{n^{2}}

, akkor

x^{1 - \frac{1}{ln n}} \leq x {(\frac{1}{n^{2}})}^{- \frac{1}{ln n}} = e^{2} x

.
Legyen

A = \sum_{n = 2}^{\infty} a_{n}

, ekkor (1) alapján, felhasználva, hogy

\sum_{n = 3}^{\infty} \frac{1}{n^{2}} = \frac{π^{2}}{6} - \frac{5}{4} < 1

\begin{matrix} \sum_{n = 2}^{\infty} a_{n}^{1 - \frac{1}{ln n}} < a_{2}^{1 - \frac{1}{ln 2}} + e^{2} \sum_{n = 3}^{\infty} \frac{1}{n^{2}} + e^{2} \sum_{n = 3}^{\infty} a_{n} < a_{2}^{1 - \frac{1}{ln 2}} + e^{2} (A + 1) < \infty . \end{matrix}