A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Megmutatjuk, hogy nem más, mint az polinomban együtthatója. Jelöljük egyelőre -nel az együtthatóját az polinomban. Azt könnyű ellenőrizni, hogy és . Mivel | | ebből az alakból kiolvasható, hogy | | (1) |
Az (1) azonosság egyszerű átrendezéseiből kapjuk, hogy | | Ezek alapján | | vagyis az és sorozatokra ugyanaz a rekurzió teljesül.
Megjegyzések. 1. Egy polinom együtthatóit komplex függvénytani eszközökkel is lehet kezelni. Például az polinomban együtthatóját felírhatjuk a következő alakban: | | Ebből a rekurzió parciális integrálással nyerhető. (A feladat innen származik.) 2. Lippner Gábor és Lukács László az generátorfüggvény vizsgálatával egy érdekes azonosságot fedezett fel: | | (2) | Nem nehéz végiggondolni, hogy definíciója esetén értelmes, és ebben az intervallumban teljesül rá a | | homogén lineáris differenciálegyenlet. Ezt megoldva , | | Másfelől | | és a függvény az együtthatókat egyértelműen meghatározza, ebből (2) következik. Természetesen (2) bizonyításához nincs szükség analitikus eszközökre, teljes indukcióval is igazolható. A (2) azonosságból a feladat állítása viszonylag egyszerűen következik.
|
|