Kezdőlap


Feladat:	N.148	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Bérczi Gergely , Kun Gábor , Lukács László
Füzet:	1998/február, 99 - 100. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Háromszög-egyenlőtlenség alkalmazásai, Bernoulli-féle egyenlőtlenség, Nehéz feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1997/október: N.148

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Legyen $P$ és $Q$ két olyan pont, amelyre a $P Q = d$ távolság maximális. Osszuk a maradék pontokat két csoportba aszerint, hogy $P$ -hez vagy $Q$ -hoz vannak közelebb. (Ha egy pont $P$ -től és $Q$ -tól ugyanolyan távolságra van, akkor tetszés szerint bármelyik csoportba tehetjük.)
Legyen a $Q$ -hoz közelebbi pontok száma $k$ . Nyilván feltehetjük, hogy ez a nagyobbik csoport, vagyis $k \geq \frac{n}{2}$ . Állítsuk sorba a $Q$ -hoz közelebbi pontokat a $P$ -től való távolság szerint; legyenek a pontok $R_{1}$ , $R_{2}$ , $...$ , $R_{k} = Q$ , ahol $P R_{1} \leq P R_{2} \leq ... \leq P R_{k} = d$ .
Ha $P R_{1} \leq (1 + \frac{1}{n}) \frac{d}{2}$ , akkor a háromszög-egyenlőtlenségből $Q R_{1} \geq P Q - P R_{1} \geq (1 - \frac{1}{n}) \frac{d}{2}$ , és e két egyenlőtlenségből $1 \leq \frac{P R_{1}}{Q R_{1}} \leq \frac{n + 1}{n - 1}$ , vagyis az $A = P$ , $B = R_{1}$ , $C = Q$ pontok megfelelőek. A továbbiakban feltesszük tehát, hogy $P R_{1} > (1 + \frac{1}{n}) \frac{d}{2}$ .
Ha valamelyik $1 \leq i < k$ -ra $P R_{i + 1} \leq \frac{n + 1}{n - 1} P R_{i}$ , akkor szintén készen vagyunk, mert az $A = R_{i + 1}$ , $B = P$ , $C = R_{i}$ pontokra teljesül a feltétel.
Mivel

\begin{matrix} \frac{P R_{2}}{P R_{1}} \cdot \frac{P R_{3}}{P R_{2}} \cdot ... \cdot \frac{P R_{k}}{P R_{k - 1}} = \frac{P R_{k}}{P R_{1}} < \frac{d}{(1 + \frac{1}{n}) \frac{d}{2}} = \frac{2}{1 + \frac{1}{n}}, \end{matrix}

(1)

elég azt igazolni, hogy

\begin{matrix} (1 + \frac{1}{n}) \cdot {(\frac{n + 1}{n - 1})}^{k - 1} \geq 2; \end{matrix}

ebből következik, hogy (1) bal oldalán valamelyik tényező értéke legfeljebb

\frac{n + 1}{n - 1}

.
A Bernoulli egyenlőtlenség alapján

\begin{matrix} \begin{matrix} (1 + \frac{1}{n}) \cdot {(\frac{n + 1}{n - 1})}^{k - 1} \geq (1 + \frac{1}{n}) \cdot (1 + \frac{2}{n - 1} (k - 1)) \geq \\ \geq (1 + \frac{1}{n}) \cdot (1 + \frac{2}{n - 1} \cdot \frac{n - 2}{2}) = 2 + \frac{n - 3}{n (n - 1)} \geq 2. \end{matrix} \end{matrix}

Ezzel az állítást igazoltuk.