Kezdőlap


Feladat:	F.3190	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Benke András , Homolya Dániel , Horváth András , Lippner Gábor , Máthé András , Nyul Gábor , Pataki Péter , Sarlós Ferenc , Szabadka Zoltán
Füzet:	1998/május, 286 - 287. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Egyéb feladványok, Magasabb fokú egyenlőtlenségek, Binomiális együtthatók, Egészrész, törtrész függvények, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1997/október: F.3190

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Keressük $x$ -et $n^{99} + \frac{1}{n}$ alakban, ahol $n$ 1-nél nagyobb egész. Ekkor

\begin{matrix} \begin{matrix} {x^{2 k + 1}} = {{(n^{99} + \frac{1}{n})}^{2 k + 1}} = {{(n^{99})}^{2 k + 1} + (\binom{2 k + 1}{1}) {(n^{99})}^{2 k} \cdot \frac{1}{n} + \\ + (\binom{2 k + 1}{2}) {(n^{99})}^{2 k - 1} \cdot \frac{1}{n^{2}} + ... + (\binom{2 k + 1}{2 k}) n^{99} \cdot \frac{1}{n^{2 k}} + \frac{1}{n^{2 k + 1}}} = \\ = {\sum_{i = 0}^{2 k + 1} (\binom{2 k + 1}{i}) n^{198 k - 100 i + 99}} . \end{matrix} \end{matrix}

0 \leq k \leq 49

és

0 \leq i \leq 2 k

, akkor

198 k - 100 i + 99 > 0

egész. Tehát ebben az esetben

\begin{matrix} \begin{matrix} {x^{2 k + 1}} = {(\binom{2 k + 1}{2 k + 1}) n^{198 k - 100 (2 k + 1) + 99}} = {{(\frac{1}{n})}^{2 k + 1}} = {(\frac{1}{n})}^{2 k + 1} . \end{matrix} \end{matrix}

Így

\begin{matrix} \begin{matrix} {x} + {x^{3}} + ... + {x^{99}} = \frac{1}{n} + \frac{1}{n^{3}} + ... + \frac{1}{n^{99}} = \\ \frac{1}{n} \cdot \frac{1 - {(\frac{1}{n^{2}})}^{50}}{1 - \frac{1}{n^{2}}} < \frac{1}{n} \cdot \frac{1}{1 - \frac{1}{n^{2}}} = \frac{n}{n^{2} - 1} < \frac{n + 1}{n^{2} - 1} = \frac{1}{n - 1} . \end{matrix} \end{matrix}

Azaz, ha

n > 2^{99} + 1

, úgy

x = n^{99} + \frac{1}{n}

választása mellett

\begin{matrix} {x} + {x^{3}} + ... + {x^{99}} < \frac{1}{n - 1} \leq \frac{1}{2^{99}} . \end{matrix}

Sarlós Ferenc (Baja, III. Béla Gimn., 12. évf.) dolgozata alapján