Kezdőlap


Feladat:	Gy.3155	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Szilasi Zoltán
Füzet:	1998/október, 405 - 406. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Háromszögek nevezetes tételei, Beírt kör, Hossz, kerület, Terület, felszín, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1997/október: Gy.3155

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Jelöljük a háromszög csúcsait $A$ , $B$ , $C$ -vel, oldalait a szokásos módon $a$ , $b$ , $c$ -vel, beírható körének középpontját $O$ -val, sugarát pedig $r$ -rel. Legyen $l$ egy $O$ -ra illeszkedő egyenes. Az $A B C$ háromszög oldalai közül $l$ legalább egyet belső pontban metsz, választhatjuk úgy a betűzést, hogy $l$ a másik két oldal közül az $A C$ -t metszi, esetleg úgy, hogy $A$ -n átmegy. Legyen $A C$ és $l$ metszéspontja $P$ , továbbá $P C = x$ és $Q C = y$ .
Az $A B C$ háromszög területe

\begin{matrix} T_{A B C} = \frac{1}{2} r (a + b + c), \end{matrix}

C P Q

háromszög területe pedig (l. az ábrát)

\begin{matrix} T_{C P Q} = \frac{1}{2} r (x + y), \end{matrix}

mert a

C P O

és a

C O Q

háromszögek

O

-hoz tartozó magassága

r

. Az

l

egyenes pontosan akkor felezi az

A B C

háromszög területét, ha

\begin{matrix} T_{A B C} = 2 \cdot T_{C P Q}, azaz ha \frac{1}{2} r (a + b + c) = 2 \cdot \frac{1}{2} r (x + y), \end{matrix}

vagyis ha

a + b + c = 2 (x + y)

. Ez viszont pontosan azt jelenti, hogy

l

felezi

A B C

kerületét.

Szilasi Zoltán (Debrecen, KLTE Gyak. Gimn., 9. o.t.) dolgozata alapján