Kezdőlap


Feladat:	Gy.3152	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Bajusz Csaba , Bárány Zsófi , Csikvári Péter , Csirmaz Előd , Deli Lajos , Gelencsér Gábor , Gerencsér Balázs , Gyenes Zoltán , Győri Nikolett , Horváth György , Hudomiet Péter , Kiss Gergely , Máthé András , Papp Dávid , Pozsonyi Gergő
Füzet:	1998/április, 224. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Egyenletrendszerek, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1997/október: Gy.3152

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Legyen $p = \frac{a}{b}$ , $q = \frac{b}{c}$ , $r = \frac{c}{d}$ és $s = \frac{d}{a}$ . Ekkor a két egyenlet:

\begin{matrix} \begin{matrix} p + q + r + s & = 6 és \\ p q + q r + r s + s p & = 8. \end{matrix} \end{matrix}

A második egyenletet szorzattá alakíthatjuk:

(p + r) (q + s) = 8

. Ekkor a

p + r = x

helyettesítéssel az első egyenletből

q + s = 6 - x

, így a második egyenletből

x (6 - x) = 8

, azaz

- x^{2} + 6 x - 8 = 0

, így

\begin{matrix} \frac{a}{b} + \frac{c}{d} = x = \frac{- 6 \pm \sqrt[]{6^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 8)}}{2 \cdot (- 1)} = \frac{- 6 \pm 2}{- 2}, \end{matrix}

vagyis a keresett összeg értéke 2, illetve 4 lehet.
Természetesen csak akkor teljes a megoldásunk, ha mutatunk olyan

a

b

c

d

számokat, amelyekre a keresett összeg valóban 2, illetve 4. Legyen először

a = b = 1

c = d = 2 - \sqrt[]{3}

, a másik esetben pedig

a = d = 2 + \sqrt[]{3}

b = c = 1

Papp Dávid (Budapest, Szent István Gimn., 10. évf.)