Feladat: C.479 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):  Csató György ,  Csirmaz Attila ,  Csizmadia Zsolt ,  Gara Zsófia ,  Győrfi Annamária ,  Herczeg Tamás ,  Münz Márton ,  Orbán Viktor ,  Szekeres Szabolcs ,  Szigel Gábor 
Füzet: 1998/április, 218 - 219. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Trapézok, Terület, felszín, C gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1997/október: C.479

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Legyenek a trapéz csúcsai A, B, C, D az ábra szerint. A trapéz területét felező x szakasz az AD szárat E-ben, a BC szárat F-ben metszi, EF=x, EF‖AB.
Jelöljük az ABCD trapéz területét 2T-vel, ekkor
TEFCD=TABFE=T.
Írjuk fel a területeket a szokásos képlettel:
2T=a+c2⋅m.(1)T=c+x2⋅m2.(2)T=x+a2⋅m1.(3)
(1), (2) és (3)-ból a megfelelő magasságokat kifejezhetjük:
m1=2Tx+a,m2=2Tc+x,m=4Ta+c,
és mivel m1+m2=m, T-vel való egyszerűsítés után kapjuk, hogy (T≠0),
2x+a+2c+x=4a+c.
Elvégezve a kijelölt műveleteket és egyszerűsítéseket, a kívánt szakasz hossza:
x=a2+c22.

 Münz Márton (Budapest, Alternatív Közg. Gimn., 10. évf.)

 
Megjegyzés. Ez az összefüggés akkor is igaz, ha a=c, azaz a trapéz paralelogramma. Ekkor a területfelező egyenes hossza megegyezik az alapok hosszával és a másik két oldal felezőpontjait köti össze. Erre nem gondoltak azok, akik a megoldást úgy kezdték, hogy a szárak metszéspontja legyen.... Paralelogramma esetén ugyanis nincs ilyen pont.