|
Feladat: |
F.3187 |
Korcsoport: 16-17 |
Nehézségi fok: átlagos |
Megoldó(k): |
Bíró Zsuzsanna , Gyenes Zoltán , Györkei Györgyi , Hegedűs Péter , Kunszenti-Kovács Dávid , Lengyel Tímea , Less Áron , Lovas Róbert , Stoll Péter , Végh A. László |
Füzet: |
1998/március,
161. oldal |
PDF | MathML |
Témakör(ök): |
Körülírt kör, Háromszögek nevezetes tételei, Vektorok, Magasságpont, Derékszögű háromszögek geometriája, Feladat |
Hivatkozás(ok): | Feladatok: 1997/szeptember: F.3187 |
|
A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. I. megoldás. Bebizonyítjuk, hogy a feladat feltétele pontosan a derékszögű háromszögekre igaz. Legyen először az háromszög hegyesszögű. Az ábrán a körülírt kör középpontja, pedig a kör -vel átellenes pontja. Ekkor , hiszen most a tompaszög, és így . Ha a háromszög tompaszögű, akkor miatt és , ahol a legnagyobb oldalt jelöli. Derékszögű háromszög esetén , ezért , ahol az átfogó. Tehát pontosan akkor teljesül, ha a háromszög derékszögű.
Kunszenti-Kovács Dávid (Oslo, Lycée Français René Cassin, 7. o.t.) |
II. megoldás. Legyen a vonatkoztatási pont, és , , . Ekkor , és pl. alapján: , amiből . Hasonlóan kapjuk, hogy , . Legyen a magasságpont helyvektora. Ismeretes, hogy , ezért , amiből . A feladat feltételének azok és csak azok a háromszögek felelnek meg, amelyekre , azaz , tehát . Ez pontosan a derékszögű háromszögekre teljesül.
|
|