Kezdőlap


Feladat:	F.3184	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Benedek Csaba
Füzet:	1998/március, 158. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Trigonometriai azonosságok, Szögfüggvények, síkgeometriai számítások, Kör geometriája, Számtani-mértani egyenlőtlenségek, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1997/szeptember: F.3184

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Először azt mutatjuk meg, hogy $0 < x < \frac{π}{2}$ esetén $x < tg x$ .
Ábrázoljuk az $x$ szöget az egységsugarú körben.
Jelöljük a kör középpontját $O$ -val, sugarát $O B$ -vel, ekkor $B O C ∢ = x$ és $O B C ∢ = \frac{π}{2}$ . A $B C$ szakasz hossza $tg x$ , így az $O B C$ háromszög területe $\frac{tg x}{2}$ . Az $O C$ félegyenes a kört $D$ -ben metszi. A $B O D$ köcikk területe $\frac{x}{2}$ . Mivel az $O B C$ háromszög tartalmazza a $B O D$ körcikket, $\frac{x}{2} < \frac{tg x}{2}$ , azaz $x < tg x$ . Így

\begin{matrix} \begin{matrix} tg x = \frac{sin x}{cos x} & > x, \\ \frac{1}{cos x} & > \frac{x}{sin x}, \\ \frac{1}{x} + \frac{1}{cos x} & > \frac{1}{x} + \frac{x}{sin x} . \end{matrix} \end{matrix}

Itt

\frac{1}{x}

és

\frac{x}{sin x}

pozitív számok, így alkalmazhatjuk rájuk a számtani és mértani közép közti egyenlőtlenséget:

\begin{matrix} \frac{\frac{1}{x} + \frac{x}{sin x}}{2} \geq \sqrt[]{\frac{1}{x} \cdot \frac{x}{sin x}} = \frac{1}{\sqrt[]{sin x}} . \end{matrix}

Ebből

\frac{1}{x} + \frac{1}{cos x} > \frac{1}{x} + \frac{x}{sin x} \geq \frac{2}{\sqrt[]{sin x}}

Benedek Csaba (Szombathely, Nagy Lajos Gimn., 11. évf.) dolgozata alapján

Megjegyzés. Ha a

B D

ív hosszát hasonlítjuk össze a

D

-ből

O B

-re bocsátott merőleges szakasz hosszával, akkor a

sin x < x

egyenlőtlenséget kapjuk.