Kezdőlap


Feladat:	Gy.3148	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Bajusz Csaba , Csikvári Péter , Csirmaz Előd , Gelencsér Gábor , Győri Nikolett , Horváth György , Keszegh Balázs , Lovrics Anna , Papp Dávid , Péterffy Bálint , Szilágyi Tamás , Varjú Péter , Zábrádi Gergely
Füzet:	1998/március, 150. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Kocka, Térelemek és részeik, Poliéderek szimmetriái, Koordináta-geometria, Sokszögek súlypontjának koordinátái, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1997/szeptember: Gy.3148

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Először azt vizsgáljuk meg, hogyan helyezkednek el egymáshoz képest a kocka kitérő élhármasai. Mivel az élek szerepe szimmetrikus, ezért az első élt tetszés szerint választhatjuk. Jelöljük a kiválasztott élt $a$ -val (1. ábra). A kocka maradék $11$ éle közül $4$ metszi $a$ -t, $3$ pedig párhuzamos vele. Ezért a második élt az ábrán $b$ , $c$ , $d$ , $e$ -vel jelölt élek közül kell választanunk. Ez a $4$ él $a$ -hoz képest ismét teljesen szimmetrikusan helyezkedik el, ezért feltehetjük, hogy a második kiválasztott él $b$ . Ekkor viszont a harmadik él már csak $c$ lehet. Ezzel beláttuk, hogy elegendő egyetlen élhármas esetén megkeresnünk a súlypontok halmazát, mert a három kitérő él egymáshoz képest mindig ugyanúgy helyezkedik el, a háromszögek súlypontjainak halmaza mindig egybevágó azzal a halmazzal, amit a 2. ábrán látható $e_{1}$ , $e_{2}$ és $e_{3}$ éleken lévő $E_{1} E_{2} E_{3}$ háromszögek súlypontjai alkotnak.
Vegyünk fel egy térbeli derékszögű koordináta-rendszert úgy, hogy a tengelyek párhuzamosak legyenek a kocka éleivel, az egység minden tengelyen legyen a kocka élhosszának egyhatoda, a kocka középpontja pedig legyen a $(3, 3, 3)$ pont (2. ábra). Jelöljük az $E_{i}$ pont koordinátáit $({e_{i}}^{x}, {e_{i}}^{y}, e_{i}^{z})$ -vel ( $i = 1$ , 2, 3). Ekkor a koordináta-rendszer felvételéből következik, hogy ${e_{1}}^{y} = {e_{1}}^{z} = 0$ ; és ${e_{2}}^{x} = 0$ és ${e_{2}}^{y} = 6$ ; ${e_{3}}^{x} = {e_{3}}^{z} = 6$ ; továbbá ${e_{1}}^{x}$ , ${e_{2}}^{z}$ és ${e_{3}}^{y}$ a $[0; 6]$ intervallumból kerül ki. Ha az $E_{1} E_{2} E_{3}$ háromszög súlypontjának koordinátáit $s^{x}$ , $s^{y}$ és $s^{z}$ jelöli, akkor ismert, hogy

\begin{matrix} s^{x} = \frac{{e_{1}}^{x} + {e_{2}}^{x} + {e_{3}}^{x}}{3}, s^{y} = \frac{{e_{1}}^{y} + {e_{2}}^{y} + {e_{3}}^{y}}{3}, s^{z} = \frac{{e_{1}}^{z} + {e_{2}}^{z} + {e_{3}}^{z}}{3}, \end{matrix}

azaz

\begin{matrix} s^{x} = 2 + \frac{{e_{1}}^{x}}{3}, s^{y} = 2 + \frac{{e_{3}}^{y}}{3} és s^{z} = 2 + \frac{{e_{2}}^{2}}{3} . \end{matrix}

Ezért

2 \leq s^{x}

s^{y}

s^{z} \leq 4

, vagyis a súlypont mindig benne van abban a 2 egység élű

K

kockában, melynek középpontja egybeesik az eredeti kocka középpontjával, élei pedig párhuzamosak annak éleivel. Ha

P (p^{x}, p^{y}, p^{z})

K

belsejében vagy annak valamelyik lapján van, akkor

2 \leq p^{x}

p^{y}

p^{z} \leq 4

, ezért az

{E_{1}}^{p} (3 p^{x} - 6; 0; 0)

{E_{2}}^{p} (0; 6; 3 p^{z} - 6)

és

{E_{3}}^{p} (6; 3 p^{y} - 6; 6)

pontok által meghatározott háromszög súlypontja éppen

P

, továbbá

{E_{i}}^{P}

rajta van az eredeti kocka

e_{i}

élén.
Ezzel megmutattuk, hogy a keresett ponthalmaz egy kocka, melyet úgy kapunk, hogy az eredeti kockát a középpontjából egyharmadára kicsinyítjük.

Papp Dávid (Budapest, Szt. István Gimn., 10. évf.)