Feladat:	Gy.3144	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):	Deli Lajos ,  Dombi Tímea ,  Geröly Péter ,  Gyenes Zoltán ,  Horváth Eszter ,  Kovács Erika Renáta ,  Máthé András ,  Pallos Péter ,  Somlai Gábor
Füzet:	1998/február, 93 - 94. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Legnagyobb közös osztó, Prímszámok, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1997/szeptember: Gy.3144

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.   I. megoldás. Írjuk a feltételezett $\frac{7}{17}=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}$ összefüggést $7ab=17\left(a+b\right)$ alakba. Jelölje az $a$ és $b$ legnagyobb közös osztóját $d$, ekkor $a=dA$, $b=dB$, ahol $A$ és $B$ egymáshoz relatív prím pozitív egészek. Egyenletünk ekkor (a nemnulla $d$-vel való leosztás után) a $7dAB=17\left(A+B\right)$ alakot ölti. Mivel $A$ és $B$ relatív prím, azért $A$-nak és $\left(A+B\right)$-nek sincs 1-nél nagyobb kozös osztója, ugyanígy $B$-nek és $\left(A+B\right)$-nek sem. Így $AB$ és $A+B$ is relatív prím; ezért $AB$ csak úgy lehet osztója a $7dAB=17\left(A+B\right)$ szorzatnak, ha osztója 17-nek. Ez $AB=1$ vagy $AB=17$ esetén teljesül. Az előbbi esetben $A=B=1$, az utóbbiban például $A=1$, $B=17$, így $7d=34$, ill. $7d=18$. Egyik esetben sem kapunk $d$-re egész értéket, tehát a kívánt felírása $\frac{7}{17}$-nek nem lehetséges.   II. megoldás. A $7ab=17\left(a+b\right)$ egyenlet 7-tel szorozva, átrendezve, majd mindkét oldalhoz ${17}^2$-t adva $\begin{array}{c}{\displaystyle {17}^2=\left(7a-17\right)\left(7b-17\right)\mathrm{.}}\end{array}$ Mivel 17 prím, ez a $\left\{\left(7a-17\right)\mathrm{,}\left(7b-17\right)\right\}$ egész számpárra a következő lehetőségeket engedi csak meg (kettejük sorrendjének felcserélésétől eltekintve): $\left\{-{17}^2\mathrm{,}-1\right\}$, $\left\{-17\mathrm{,}-17\right\}$, $\left\{{17}^2\mathrm{,}1\right\}$, $\left\{\mathrm{17,}17\right\}$. Az ezeknek rendre megfelelő értékek $a$-ra: $\frac{17-{17}^2}{7}$, 0, $\frac{17+{17}^2}{7}$, $\frac{17+17}{7}$, amelyek egyike sem pozitív egész.  Pallos Péter (Fazekas M. Főv. Gyak. Gimn., 8. o.t.)