Kezdőlap


Feladat:	C.475	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Bérces Márton , Csirmaz Attila , Csökmei Krisztina , Kormos Márton
Füzet:	1998/március, 144. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Súlyvonal, Középpontos tükrözés, Paralelogrammák, Háromszögek hasonlósága, C gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1997/szeptember: C.475

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Tükrözzük a háromszöget a $C_{1}$ pontra. A középpontos tükrözés tulajdonságaiból következik, hogy a keletkezett $A C B C^{'}$ síkidom paralelogramma. Az a feltétel, hogy $\frac{C P}{P C_{1}} = \frac{m}{n}$ , azt jelenti, hogy $C P = m \cdot x$ , $P C_{1} = n \cdot x$ alakban írható ( $x > 0$ ). Ekkor $C_{1} C$ hossza $(m + n) x$ lesz. Az $A P$ egyenes a $C B$ oldalt $A_{1}$ -ben, a $B P$ egyenes az $A C$ oldalt $B_{1}$ -ben metszi. A $C P A_{1}$ és $C^{'} P A$ háromszögek hasonlók (szögeik egyenlők). Ezért megfelelő oldalaik aránya megegyezik. Azaz

\begin{matrix} \frac{P A}{P A_{1}} = \frac{C^{'} P}{P C} = \frac{n x + (n + m) x}{m x} = \frac{m + 2 n}{m}, \end{matrix}

ez a keresett arány.
Hasonlóan leolvashatjuk a

B_{1} P C

és

B P C^{'}

háromszögek hasonlóságából, hogy

\begin{matrix} \frac{P B}{P B_{1}} = \frac{m + 2 n}{m} . \end{matrix}