Feladat: N.142 Korcsoport: 18- Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):  Bérczi Gergely ,  Braun Gábor ,  Frenkel Péter ,  Lippner Gábor ,  Mátrai Tamás ,  Pap Gyula 
Füzet: 1998/január, 35 - 37. oldal  PDF file
Témakör(ök): Valós együtthatós polinomok, Műveletek polinomokkal, Binomiális együtthatók, Nehéz feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1997/május: N.142

Legyen n pozitív egész. Igazoljuk, hogy minden valós együtthatós polinom felírható n darab polinom n-edik hatványának előjeles összegeként.

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Elég ha az x polinomot felírjuk n darab polinom n-edik hatványának előjeles összegeként, mert ha az f1, f2, ..., fn polinomokra

±(f1(x))n±(f2(x))n±...±(fn(x))n=x,
akkor x helyére egy tetszőleges g(x) polinomot helyettesítve
(f1(g(x)))n+(f2(g(x)))n+...+(fn(g(x)))n=g(x).

Definiáljuk a következő polinomsorozatot:
h0(x)=xn,hk+1(x)=hk(x)-hk(x-1).
Ezeknek a polinomoknak két tulajdonságára lesz szükségünk:
(a) Tetszőleges k nemnegatív egészre
hk(x)=(k0)xn-(k1)(x-1)n+(k2)(x-2)n-+...+(-1)k(kk)(x-k)n=j=0k(-1)j(kj)(x-j)n;

(b) 0kn eseten hk foka n-k és főegyütthatója n(n-1)(n-2)...(n-k+1).
Mindkét állítást indukcióval bizonyíthatjuk. A k=0 esetben mindkettő triviális.
Ha valamely k-ra (a) igaz, akkor igaz k+1-re is, mert
hk+1(x)=hk(x)-hk(x-1)==j=0k(-1)j(kj)(x-j)n-j=0k(-1)j(kj)(x-j-1)n==(k0)xn+j=1k(-1)((kj)+(kj-1))(x-j)n-(-1)k(kk)(x-k-1)n==j=0k+1(k+1j)(x-j)n.

Ha a (b) állítás teljesül valamely 0k<n-re, azaz
hk(x)=n(n-1)...(n-k+1)xn-k+an-k-1xn-k-1+...+a1x+a0,
akkor
hk+1(x)=hk(x)-hk(x-1)=n(n-1)...(n-k+1)(xn-k-(x-1)n-k)++an-k-1(xn-k-1-(x-1)n-k-1)+...a1(x-(x-1))+(a0-a0).
Könnyű ellenőrizni, hogy xn-k kiesik, és xn-k-1 együthatója n(n-1)...(n-k).
A k=n-1 esetben speciális esetként azt kapjuk, hogy
j=0n-1(-1)j(n-1j)(x-j)n
egy lineáris polinom, felírható Ax+B alakban, ahol A0. Legyen
fj(x)=(n-1j)n(x-BA-j);
ezzel a választással
(f0(x))n-(f1(x))n+-...+(-1)n-1(fn-1(x))n==j=0n-1(-a)j(n-1j)(x-BA-j)n=Ax-BA+B=x.

Ezzel az állítást igazoltuk.