A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Tegyük fel, hogy az állítással ellentétben . Legyen azoknak a legfeljebb öttagú összegeknek a halmaza, amelyek az , , , számokból készíthetők, és nem kisebbek -nél. A legfeljebb öttagú összegek száma , ezek közül azok lehetnek kisebbek -nél, amelyekben csak , vagy szerepel, összesen 7 darab. Tehát . A legnagyobb összeg , ezért mindegyik összeg az intervallumba esik. Az egyenlőtlenség alapján -nek létezik három olyan eleme, amelyek -cel osztva ugyanazt a maradékot adják. Mivel azonban bármely két elemének különbsége kisebb -nél, a három elem közül kettő különbsége pontosan . Ez azonban ellentmondás, mert a kisebbik összeghez -et adva a nagyobbikat kapjuk.
Kun Gábor (Budapest, Piarista Gimn., III. o.) |
Megjegyzések. 1. Egy kis számolással ellenőrizhető, hogy az , , , számokból legalább 376 darab olyan összeg készíthető, amely biztosan és közé esik. Ebből azonnal következik, hogy és . Ez az eredmény még mindig messze van a lehetséges legjobbtól. 2. Többféle módszerrel, például az előző pontbeli ötlet általánosításával igazolható, hogy ha az , , , számokból készíthető összegek mind különbözők, akkor . Az is könnyen látható, hogy a 2-hatványok sorozatára teljesül a feltétel. Erdős Pál azt sejtette, hogy megfelelő pozitív konstanssal . Ennek bizonyításáért vagy megcáfolásáért 300 dollárt ajánlott fel. A probléma jelenleg még megoldásra vár.
|