Kezdőlap


Feladat:	F.3183	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Deli Lajos , Juhász András
Füzet:	1998/január, 33. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Euler-féle poliédertétel alkalmazásai, Euler-formula, Szabályos sokszögek által határolt testek, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1997/május: F.3183

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Legyen a poliéder ötszöglapjainak száma $n$ , a hatszöglapok száma pedig $k$ . Euler ismert tétele szerint minden konvex poliéderre $l + c = e + 2$ , ahol $l$ a lapok, $c$ a csúcsok, $e$ pedig az élek száma. A tétel alapján próbálunk $n$ -re becslést adni. Mivel mindegyik csúcsból 3 él indul ki, a csúcsok száma $\frac{5 n + 6 k}{3}$ . Minden él két laphoz tartozik, ezért az élek száma $\frac{5 n + 6 k}{2}$ . Az Euler tételt alkalmazva:

\begin{matrix} n + k + \frac{5 n + 6 k}{3} = \frac{5 n + 6 k}{2} + 2, amiből n = 12. \end{matrix}

Ilyen test pl. a dodekaéder, ekkor a hatszögek száma nulla, vagy az a poliéder, amelyet a szabályos ikozaéder csúcsainak ,,lemetszésével'' kapunk. Ha ez a lemetszés úgy történik, hogy minden csúcs levágásakor egy szabályos ötszög, a lapokból pedig szabályos hatszög keletkezik, akkor ez a test ,,felfújva'' a focilabda, amelyről a közelmúltban a KöMaL-ban is olvashattunk. (Ábráját lásd az 1996/4. sz. hátsó borítóján.) Ilyen térbeli szerkezetűnek képzelik el a szén nemrég felfedezett 3. allotróp módosulatát, a

C_{60}

-at. A feladatban szereplő poliédernek megfelelő térbeli szerkezetű a többi fullerén is.

Deli Lajos (Hajdúszoboszló, Hőgyes E. Gimn., 8. o.t.)

Megjegyzés. Juhász András (Fazekas M. Főv. Gyak. Gimn., II. o.t.) ötszöglapok helyett

m

-szögekre is megvizsgálta a feladatot, és megállapította, hogy csak

m < 6

-ra létezhet a keresett poliéder. Az

m = 4

esetre példa lehet a kocka vagy a hatszögalapú hasáb, az

m = 3

esetre pedig a tetraéder. Azt is megállapította, hogy ha egy poliéder minden csúcsából 3 él indul ki, akkor nem lehet minden lapja hat vagy annál több oldalú.