Feladat: F.3181 Korcsoport: 18- Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Baharev Ali ,  Barát Anna ,  Bérczi Gergely ,  Boros M. Mátyás ,  Csiszár Gábor ,  Dályay Virág ,  Dedinszky Zsófia ,  Deli Lajos ,  Devecsery András ,  Fazekas Borbála ,  Fejérvári Bence ,  Gyenes Zoltán ,  Győri Nikolett ,  Hangya Balázs ,  Horváth András ,  Juhász András ,  Katona Zsolt ,  Lázár Zsófia ,  Léka Zoltán ,  Lippner Gábor ,  Megyeri Csaba ,  Nagy István ,  Páles Csaba ,  Papp Dávid ,  Pesti Kata ,  Pintér Dömötör ,  Rudolf Gábor ,  Szabó Gábor ,  Szalai-Dobos András ,  Szita István ,  Szűcs Gábor ,  Taraza Busra ,  Terék Zsolt ,  Terpai Tamás ,  Vaik Zsuzsanna ,  Vajda István ,  Várady Gergő ,  Várkonyi Péter ,  Végh László 
Füzet: 1998/január, 31 - 32. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Hatványvonal, hatványpont, Kör egyenlete, Egyenesek egyenlete, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1997/május: F.3181

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

 
I. megoldás. A két kört egy koordináta-rendszerbe helyezzük. Használjuk az ábra jelöléseit. Az O1 középpontú kA kör egyenlete: (x-u1)2+(y-v1)2=r2, a kB kör egyenlete: (x-u2)2+(y-v2)2=R2. Mivel az ABC háromszög szabályos, AC=BC. Írjuk fel ezután az AC és BC négyzetét:
AC2=O1C2-r2=(x0-u1)2+(y0-v1)2-r2,BC2=O2C2-R2=(x0-u2)2+(y0-v2)2-R2,(1)
Mivel AC=BC, (1)-ből következik:
x02+2x0u1+u12+y02-2v1y0+v12-r2=x02-2x0u2+u22+y02-2y0v2+v22-R2,
amiből
2y0(v2-v1)=2x0(u1-u2)+u22+v22-u12-v12+r2-R2,(2)
ahol v2-v10, u1-u20. (2)-ből láthatjuk, hogy minden C(x0;y0) egy lineáris egyenletet elégít ki, ami azt jelenti, hogy a C pontok egy egyenesen vannak. Ez akkor is így van, ha az ABC háromszög nem szabályos, de AC=BC. (2)-ből leolvasható a szóban forgó egyenes iránytangense. Ennek és az O1O2 egyenes iránytangenségek szorzata -1. Ez azt jelenti, hogy a C pontokat tartalmazó egyenes merőleges az O1O2-re.
 Pintér Dömötör (Szombathely, Nagy L. Gimn., IV. o.t.)

 
II. megoldás. A C pontból a két körhöz húzott érintőszakaszok hossza egyenlő. Ezért a C pontok illeszkednek a két kör hatványvonalára.