Kezdőlap


Feladat:	F.3178	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Barát Anna , Bérczi Gergely , Biró Márton , Dályay Virág , Devecsery András , Fejérvári Bence , Gyenes Zoltán , Győri Nikolett , Györkei Györgyi , Hangya Balázs , Jeszenszky Gyula , Juhász András , Katona Zsolt , Keszegh Balázs , Lázár Zsófia , Léka Zoltán , Lippner Gábor , Méder Áron , Megyeri Csaba , Mizda Roland , Nagy István , Naszvadi Péter , Oláh Szabolcs , Páles Csaba , Pintér Dömötör , Prause István , Szabó Péter , Székelyhidi Gábor , Szilágyi Judit , Szita István , Szűcs Gábor , Terpai Tamás , Vaik Zsuzsanna , Várkonyi Péter , Végh László
Füzet:	1998/február, 97 - 98. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Műveletek polinomokkal, Nevezetes azonosságok, Oszthatósági feladatok, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1997/május: F.3178

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Jelölje $k n$ 5-tel való osztási maradékát $a_{k}$ , és legyen $k n = 5 b_{k} + a_{k}$
( $k = 1$ , 2, 3, 4).
$x^{k n} - a^{a_{k}}$ osztható $(x^{4} + x^{3} + x^{2} + x + 1)$ -gyel, mivel

\begin{matrix} \begin{matrix} x^{k n} - x^{a_{k}} = a^{a_{k}} \cdot (x^{5 b_{k}} - 1) = x^{a_{k}} \cdot (x^{5} - 1) \cdot (x^{5 (b_{k} - 1)}) + x^{5} (b_{k} - 2) + ... + x^{5 \cdot 0}) = \\ = x^{a_{k}} \cdot (x - 1) (x^{4} + x^{3} + x^{2} + x + 1) \cdot (x^{5 (b_{k} - 1)} + x^{5 (b_{k} - 2)} + ... + x^{5 \cdot 0}) . \end{matrix} \end{matrix}

Ennek alapján

\begin{matrix} x^{4 n} + x^{3 n} + x^{2 n} + x^{n} + 1 - x^{a_{4}} - x^{a_{3}} - x^{a_{2}} - x^{a_{1}} - 1 \end{matrix}

osztható

(x^{4} + x^{3} + x^{2} + x + 1)

-gyel.
Ha

n

nem osztható 5-tel, akkor az

a_{1}

a_{2}

a_{3}

a_{4}

számok valamilyen sorrendben megegyeznek az 1, 2, 3, 4 számokkal. Így

x^{4 n} + x^{3 n} + x^{2 n} + x^{n} + 1 - x^{4} - x^{3} - x^{2} - x - 1

osztható

(x^{4} + x^{3} + x^{2} + x + 1)

-gyel, s ez a kívánt oszthatósággal ekvivalens.
Ha

n

osztható 5-tel, akkor az

a_{1}

a_{2}

a_{3}

a_{4}

számok mindegyike 0, így az

x^{4 n} + x^{3 n} + x^{2 n} + x^{n} - 4

polinom osztható

(x^{4} + x^{3} + x^{2} + x + 1)

-gyel. Ezért az

x^{4 n} + x^{3 n} + x^{2 n} + x^{n} + 1

polinom nem osztható

(x^{4} + x^{3} + x^{2} + x + 1)

-gyel.