Kezdőlap


Feladat:	Gy.3141	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Máthé András
Füzet:	1998/március, 148 - 149. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Kocka, Térelemek és részeik, Térfogat, Háromszögek hasonlósága, Párhuzamos szelők tétele, Csonkagúlák, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1997/május: Gy.3141

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Jelöljük a kockát kettévágó síkot $S$ -sel, a $B C$ egyenes és $S$ döféspontját pedig $G$ -vel. Válasszuk a kocka élhosszát 6 egységnek. Az $A F$ és a $G H$ egyenesek benne vannak az $S$ síkban, de nem metszhetik egymást, mert az $A D D^{'} A^{'}$ , illetve a $B C C^{'} B^{'}$ síkokban, azaz a kocka két párhuzamos lapsíkjában is benne vannak. Ezért $A F$ és $G H$ egymással párhuzamosak. Tehát az $A F D$ és a $G H C$ háromszögek hasonlóak, amiből kapjuk, hogy $\frac{G C}{C H} = \frac{A D}{D F}$ , vagyis

\begin{matrix} G C = C H \cdot \frac{A D}{D F} = 2 \cdot \frac{6}{3} = 4. \end{matrix}

Jelöljük

P

-vel a

D C

félegyenes

D

-től

18

egységnyi távolságra lévő pontját. Ekkor

\begin{matrix} \frac{F D}{H C} = \frac{D P}{C P} = \frac{A D}{G C}, \end{matrix}

és mivel

F D ∥ H C

valamint

A D ∥ G C

, ezért a párhuzamos szelők tételéből következik, hogy az

F H

és az

A G

egyenesek is átmennek

P

-n. Ez viszont azt jelenti, hogy az

A F D G H C

test csonkagúla, amelynek alap-, illetve fedőlapja

A F D

és

G H C

, magassága pedig

D C

; ezért térfogata az ismert képlet alapján

\begin{matrix} V_{1} = \frac{D C}{3} (T_{A F D} + \sqrt[]{T_{A F D} \cdot T_{G H C}} + T_{G H C}) = 2 \cdot (9 + 6 + 4) = 38. \end{matrix}

Mivel a kocka másik részének térfogata

V_{2} = 6^{3} - V_{1} = 178

, ezért az

S

sík által elválasztott két rész térfogatának aránya

38 : 178 = 19 : 89