Kezdőlap


Feladat:	F.3168	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Gyenes Zoltán , Lippner Gábor , Lukács László , Megyeri Csaba , Szalai-Dobos András , Szűcs Gábor , Terpai Tamás , Végh László
Füzet:	1998/január, 30 - 31. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Valós együtthatós polinomok, Függvényegyenletek, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1997/március: F.3168

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A válasz: a konstans polinomokra. A feltétel szerint ugyanis

\begin{matrix} P (X, Y) = P (X + Y, X - Y) = P ((X + Y) + (X - Y), (X + Y) - (X - Y)) = P (2 X, 2 Y) . \end{matrix}

Rögzített

t

valós paraméterrel legyen

P_{t} (x) = P (x, t x)

, ekkor

\begin{matrix} P_{t} (2 x) = P (2 x, 2 t x) = P (x, t x) = P_{t} (x) \end{matrix}

szerint

P_{t} (2^{k} x) = P_{t} (x)

minden

k \geq 1

egészre. Legyen például

P_{t} (1) = c

, ekkor minden ilyen

k

-ra

P_{t} (2^{k}) - c = 0

, azaz 1, 2,

2^{2}

2^{3}

...

mindegyike gyöke a

P_{t} (x) - c

polinomnak. Egy polinomnak azonban csak akkor lehet végtelen sok gyöke, ha a konstans nulla polinom, azaz ha

P_{t} (x)

konstans polinom minden

t

valós paraméterre. Hasonlóan kaphatjuk, hogy

Q_{t} (x) = P (t x, x)

is konstans minden

t

-re. Így tetszőleges

x

y

valós számokra

y = t x

vagy

x = t y

(alkalmas

t

-vel), tehát

\begin{matrix} P (x, y) = P_{t} (x) = P_{t} (0) = P (0, 0) vagy P (x, y) = Q_{t} (y) = Q_{t} (0) = P (0, 0), \end{matrix}

azaz

P

konstans polinom.

Megjegyzés. 1. A közölt megoldás tényként kezeli, hogy ha egy valós változós polinom minden helyettesítési értéke ugyanaz, akkor a polinom konstans, azaz minden valódi

x

-hatvány együtthatója 0. Ez az egyváltozós esetben abból következik, hogy egy nem konstans egyváltozós polinomnak csak véges sok gyöke lehet. Ezután már belátható a megfelelő állítás kétváltozós polinomokra is, felhasználva, hogy minden ilyen

f (x, y)

polinom felírható

\begin{matrix} f_{k} (y) x^{k} + f_{k - 1} (y) x^{k - 1} + ... + f_{1} (y) x + f_{0} (y) \end{matrix}

alakban, ahol

f_{0}

f_{1}

...

f_{k}

egyváltozós polinomjai

y

-nak. (Ugyanis rögzítve

y

-t, kapjuk, hogy

\begin{matrix} f_{k} (y) = f_{k - 1} (y) = ... = f_{1} (y) = 0, \end{matrix}

és mivel ez minden

y

-ra igaz,

f_{k - 1}

...

f_{1}

mindegyike azonosan nulla; így ha

f (x, y)

minden helyettesítési értéke ugyanaz, akkor

f (x, y) = f_{0} (y)

alakú, és használjuk az egyváltozós polinomokra már belátott állítást.)
2. Az ismertetett megoldás kiindulópontjául szolgált

P (X, Y) = P (2 X, 2 Y)

azonosságot a

P (X, Y) = P (\frac{X}{2}, \frac{Y}{2})

, ill. az ebből adódó

P (\frac{X}{2^{k}}, \frac{Y}{2^{k}}) = P (X, Y)

alakban használva kapjuk, hogy minden

x

y

számpárra (a kétváltozós

P (x, y)

függvény folytonossága miatt)

P (X, Y) = {lim}_{}^{}_{k \to \infty}^{} P (\frac{X}{2^{k}}, \frac{Y}{2^{k}})

, ami viszont éppen a

P (X, Y)

kifejezés konstans tagja, hiszen a

P (X, Y) = \sum_{}^{} a_{i j} X^{i} Y^{j}

alakban mindegyik

a_{i j} {(\frac{X}{2^{k}})}^{i} {(\frac{Y}{2^{k}})}^{j}

tag értéke 0-hoz tart, ha

k \to \infty

és

i + j > 0

Lippner Gábor (Fazekas M. Főv. Gyak. Gimn., III. o.t.)

3. Azok, akik minden bizonyítás vagy hivatkozás nélkül használták a kétváltozós polinomokra, hogy csak véges sok gyökük lehet, illetve hogy folytonosak, nem kaptak maximális pontszámot.