A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Megmutatjuk, hogy az állítás igaz. Jelöljük a sokszög csúcsait , , , -tel, a csúcsoknál lévő szöget pedig -val. Az húr az csúcsból szögben látszik (, 2, , 1997, az indexeket modulo 1997 számolva), mindig a rövidebbik íven van, mert tompaszög, ezért az húrok mind egyenlő hosszúságúak, és a rövidebb körívek is mind egyenlő hosszúságúak. A továbbiakban -val jelöljük a kör és pontjai által meghatározott rövidebb körív hosszát. Mivel , azért a hosszabbik és ívek is egyenlő hosszúságúak, vagyis | | amiből kapjuk, hogy . Az ennek megfelelő egyenlőséget a hosszabbik és ívekre felírva kapjuk, hogy minden -re, vagyis minden második rövid ív hossza megegyezik. De mivel páratlan sok rövid ívünk van, ez egyúttal azt is jelenti, hogy minden rövid ív hossza megegyezik. Ebből viszont következik, hogy a körbe írható sokszögünk minden oldala egyenlő hosszúságú, tehát a sokszög szabályos.
Megjegyzés. A bizonyításunk minden körbe írható páratlan oldalú sokszög esetén alkalmazható. Páros oldalú sokszög esetén viszont feltételeinkből nem következik a szabályosság. A legegyszerűbb ellenpélda egy téglalap, de ellenpélda a 2. ábrán látható hatszög is, általában pedig egy olyan -szög, amit úgy kapunk, hogy egy szabályos -szöget a középpontja körül -nél kisebb szöggel elforgatunk, majd pedig tekintjük az eredeti sokszög és az elforgatottja csúcsai által meghatározott konvex sokszöget.
|