Kezdőlap


Feladat:	C.463	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):	Robotka Zsolt
Füzet:	1998/január, 23 - 24. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Derékszögű háromszögek geometriája, Súlyvonal, Pitagorasz-tétel alkalmazásai, Szögfelező egyenes, C gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1997/március: C.463

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Az $A B C$ derékszögű háromszög éppen fele egy $A B = 1$ élhosszúságú szabályos háromszögnek, ezért $B C = \frac{1}{2}$ , $A C = \frac{\sqrt[]{3}}{2}$ . A $C E$ súlyvonal hossza $\frac{A B}{2} = \frac{1}{2}$ , ahonnan $S C = \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{3}$ . A $B D$ súlyvonal hosszát a $B C D$ derékszögű háromszögből Pitagorasz tétele segítségével számolhatjuk ki.

\begin{matrix} B D = \sqrt[]{B C^{2} + C D^{2}} = \sqrt[]{{(\frac{1}{2})}^{2} + {(\frac{\sqrt[]{3}}{4})}^{2}} = \frac{\sqrt[]{7}}{4} . \end{matrix}

Innen

B S = \frac{2}{3} \cdot \frac{\sqrt[]{7}}{4} = \frac{\sqrt[]{7}}{6}

.
A

B S C

háromszögben, az

S F

szögfelező a közrezáró oldalak arányában osztja a szemközti oldalt, azaz:

\begin{matrix} \frac{B F}{F C} = \frac{B S}{S C} = \frac{\sqrt[]{7}}{2} . \end{matrix}

A kérdéses szakaszok hossza pedig:

\begin{matrix} B F = \frac{\sqrt[]{7}}{2} \cdot F C és \frac{\sqrt[]{7}}{2} F C + F C = \frac{1}{2}, \end{matrix}

ahonnan

F C = \frac{\sqrt[]{7} - 2}{3}

és

B F = \frac{7 - 2 \sqrt[]{7}}{6}