|
Feladat: |
F.3161 |
Korcsoport: 18- |
Nehézségi fok: nehéz |
Megoldó(k): |
Barát Anna , Gyenes Zoltán , Hangya Balázs , Juhász András , Lippner Gábor , Méder Áron , Pál András , Pintér Dömötör , Prause István , Szalai-Dobos András , Szita István , Terék Zsolt , Várkonyi Péter |
Füzet: |
1998/január,
28 - 29. oldal |
PDF | MathML |
Témakör(ök): |
Függvényegyenletek, Indirekt bizonyítási mód, Teljes indukció módszere, Feladat |
Hivatkozás(ok): | Feladatok: 1997/február: F.3161 |
|
A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Az helyettesítéssel adódik, azaz . Ezek után tételezzük fel, hogy nem igaz a feladat állítása, vagyis létezik olyan pozitív , amelyre . Legyen ; választása miatt . A következőt fogjuk belátni: | | (1) |
Ez teljes indukcióval igazolható; esetén állításunk triviális. Így már csak azt kell belátnunk, hogy ha esetén igaz az állítás, akkor esetén is. Az indukciós feltevés szerint: . Négyzetre emelve | | (2) | Másrészt az egyenlőtlenségbe -t helyettesítve kapjuk: | | átrendezve: | | (2)-ből viszont így | | Így esetén is fennáll az egyenlőtlenség, ezzel (1)-et igazoltuk. Válasszuk az , természetes számokat olyan nagyra, hogy teljesüljön: , , továbbá . Ezt megtehetjük, mert , mivel . Ekkor miatt . Tehát | | Ezzel ellentmondásra jutottunk, vagyis a feladat állítása igaz.
|
|