Kezdőlap


Feladat:	F.3160	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Baharev Ali , Barát Anna , Bérczi Gergely , Faddi Gábor , Jeszenszky Gyula , Juhász András , Lippner Gábor , Méder Áron , Megyeri Csaba , Nagy István , Oláh Szabolcs , Páles Csaba , Pintér Dömötör , Szita István , Szűcs Gábor , Végh László , Zawadowski Ádám
Füzet:	1998/január, 27 - 28. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Számtani-mértani egyenlőtlenségek, Kvadratikus közép, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1997/február: F.3160

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A tetszőleges $x_{i} < 1$ -re fennálló

\begin{matrix} \frac{x_{i}}{\sqrt[]{1 - x_{i}}} = \frac{1 - (1 - x_{i})}{\sqrt[]{1 - x_{i}}} = \frac{1}{\sqrt[]{1 - x_{i}}} - \sqrt[]{1 - x_{i}} \end{matrix}

azonosság alkalmazásával a bizonyítandó egyenlőtlenség bal oldala:

\begin{matrix} \begin{matrix} B = \frac{x_{1}}{\sqrt[]{1 - x_{1}}} + \frac{x_{2}}{\sqrt[]{1 - x_{2}}} + ... + \frac{x_{n}}{\sqrt[]{1 - x_{n}}} = \\ = (\frac{1}{\sqrt[]{1 - x_{1}}} + \frac{1}{\sqrt[]{1 - x_{2}}} + ... + \frac{1}{\sqrt[]{1 - x_{n}}}) - (\sqrt[]{1 - x_{1}} + \sqrt[]{1 - x_{2}} + ... + \sqrt[]{1 - x_{n}}) . \end{matrix} \end{matrix}

A számtani és mértani közép közötti egyenlőtlenség szerint

\begin{matrix} \frac{1}{\sqrt[]{1 - x_{1}}} + \frac{1}{\sqrt[]{1 - x_{2}}} + ... + \frac{1}{\sqrt[]{1 - x_{n}}} \geq n \cdot \sqrt[n]{\frac{1}{\sqrt[]{1 - x_{1}} \cdot \sqrt[]{1 - x_{2}} ... \cdot \sqrt[]{1 - x_{n}}}}, \end{matrix}

a számtani és négyzetes közepekre fennálló egyenlőtlenségből pedig:

\begin{matrix} \begin{matrix} - (\sqrt[]{1 - x_{1}} + \sqrt[]{1 - x_{2}} + ... + \sqrt[]{1 - x_{n}}) \geq \\ \geq - n \sqrt[]{\frac{(1 - x_{1}) + (1 - x_{2}) + ... + (1 - x_{n})}{n}} = - n \sqrt[]{\frac{n - 1}{n}} . \end{matrix} \end{matrix}

Így

\begin{matrix} \begin{matrix} B \geq n \sqrt[n]{\frac{1}{\sqrt[]{(1 - x_{1}) (1 - x_{2}) ... (1 - x_{n})}}} - n \sqrt[]{\frac{n - 1}{n}} \geq \\ \geq n \sqrt[n]{\frac{1}{\sqrt[]{{(\frac{(1 - x_{1}) + (1 - x_{2}) + ... + (x - x_{n})}{n})}^{n}}}} - n \sqrt[]{\frac{n - 1}{n}} = n \sqrt[]{\frac{n}{n - 1}} - n \sqrt[]{\frac{n - 1}{n}} = \sqrt[]{\frac{n}{n - 1}} . \end{matrix} \end{matrix}

A jobb oldalt,

J

-t a számtani és négyzetes közép közötti egyenlőtlenséggel becsülve:

\begin{matrix} \frac{\sqrt[]{n - 1}}{n} J = \frac{\sqrt[]{x_{1}} + \sqrt[]{x_{2}} + ... + \sqrt[]{x_{n}}}{n} \leq \sqrt[]{\frac{x_{1} + x_{2} + ... + x_{n}}{n}} = \frac{1}{\sqrt[]{n}}, \end{matrix}

ezért

J \leq \sqrt[]{\frac{n}{n - 1}}

, tehát

\begin{matrix} B \geq \sqrt[]{\frac{n}{n - 1}} \geq J . \end{matrix}

Egyenlőség ‐ a felhasznált egyenlőtlenségek miatt ‐ pontosan akkor teljesül, ha

x_{1} = x_{2} = ... = x_{n} = \frac{1}{n}

Szűcs Gábor (Szeged, JATE Ságvári E. Gyak. Gimn., III. o.t.)