Kezdőlap


Feladat:	C.460	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: könnyű
Füzet:	1998/január, 22 - 23. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Szabályos sokszög alapú gúlák, Pitagorasz-tétel alkalmazásai, Térgeometriai számítások trigonometria nélkül, C gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1997/február: C.460

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A négyoldalú gúla felszíne egy egységoldalú négyzetből és 4 darab egybevágó egységoldalú szabályos háromszögből áll; $F_{g} = 1 + \sqrt[]{3}$ .
A gúla térfogata: $V_{g} = \frac{A_{t} \cdot m}{3}$ . Az alaplap négyzet, és így $m = \sqrt[]{1 - {(\frac{\sqrt[]{2}}{2})}^{2}} = \frac{\sqrt[]{2}}{2}$ , $V_{g} = \frac{\sqrt[]{2}}{6}$ .
Mivel a gúla szabályos, a levágott kis tetraéderek egybevágók. Határozzuk meg egy kis tetraéder térfogatát. A tetraéder alaplapja $\frac{1}{2}$ befogójú egyenlő szárú derékszögű háromszög, területe: $\frac{1}{8}$ , a tetraéder magassága a gúla magasságának a fele: $\frac{\sqrt[]{2}}{4}$ .
A négy kis tetraéder együttes térfogata: $\frac{4 \cdot \frac{1}{8} \cdot \frac{\sqrt[]{2}}{4}}{3} = \frac{\sqrt[]{2}}{24}$ . A maradék test térfogata pedig:

\begin{matrix} \frac{\sqrt[]{2}}{6} - \frac{\sqrt[]{2}}{24} = \frac{\sqrt[]{2}}{8} térfogategység . \end{matrix}

Egy kis tetraéder felszíne egy

\frac{1}{2}

befogójú egyenlő szárú derékszögű háromszögből, 2 darab

\frac{1}{2}

oldalú szabályos háromszögből és egy

\frac{1}{2}

\frac{1}{2}

\frac{\sqrt[]{2}}{2}

oldalú háromszögből áll, amely Pitagorasz tételének megfordítása értelmében az elsőként említett egyenlő szárú derékszögű háromszöggel egybevágó. Így

t_{1} = \frac{1}{8}

t_{2} = \frac{{(\frac{1}{2})}^{2} \sqrt[]{3}}{4} = \frac{\sqrt[]{3}}{16}

A gúla felszínéből ki kell vonnunk a kis tetraéderek alapcsúcsokban található 3‐3 lapjának területösszegét, és ehhez hozzáadnunk a negyedik lapok területösszegét.
A megmaradt test felszíne:

\begin{matrix} F = 1 + \sqrt[]{3} - (4 \cdot \frac{1}{8} + 8 \cdot \frac{\sqrt[]{3}}{16}) + 4 \cdot \frac{1}{8} = \frac{2 + \sqrt[]{3}}{2} \approx 1,866 területegység . \end{matrix}