Kezdőlap


Feladat:	3298. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Ballók István , Czompó Sz. Csaba
Füzet:	2000/november, 506 - 508. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Egyéb körfolyamatok, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1999/december: 3298. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Tekintsük a levegőt homogén kétatomos gáznak, amelynek fajhőhányadosa

\begin{matrix} κ = \frac{c_{p}}{c_{V}} = \frac{7}{5} . \end{matrix}

Ha a körfolyamat során a térfogat a kezdeti

V_{1} = 7 \cdot 10^{- 3} m^{3}

érték

x

-szeresére, a nyomás pedig a kezdeti

p_{1} = 10^{5} Pa

érték

y

-szorosára nő (lásd az ábrát), akkor a végzett munka

\begin{matrix} L = p_{1} V_{1} (x - 1) (y - 1) = 500 J, \end{matrix}

ahonnan

\begin{matrix} y - 1 = \frac{5}{7 (x - 1)} . \end{matrix}

(1)

A levegő által egy ciklus során felvett hő:

\begin{matrix} Q = Q_{1 \to 2} + Q_{2 \to 3} = m c_{V} (T_{2} - T_{1}) + m κ (T_{3} - T_{2}) = m c_{V} T_{1} \cdot [(x - 1) + κ x (y - 1)] . \end{matrix}

(2)

A körfolyamat hatásfoka:

η = L / Q

, amely (az adott nagyságú

L

miatt) akkor a legnagyobb, amikor

Q

a lehető legkisebb értékű. Ez akkor teljesül, ha a szögletes zárójelben álló kifejezés minimális.
Fejezzük ki (1)-ből

y

-t és helyettesítsük a (2)-beli szögletes zárójeles kifejezésbe, így visszavezettük a feladatot az

\begin{matrix} f (x) = x - 1 + \frac{5 κ}{7} \frac{x}{x - 1} = x - 1 + \frac{x}{x - 1} = x - 1 + \frac{1}{x - 1} + 1 (x > 1) \end{matrix}

függvény minimumának megkeresésére. Alkalmazva a számtani és a mértani közepekre vonatkozó egyenlőtlenséget

\begin{matrix} f (x) \geq 1 + 2 \sqrt[]{(x - 1) \cdot \frac{1}{x - 1}} = 3, \end{matrix}

a hatásfokra tehát fennáll

\begin{matrix} η = \frac{L}{Q} \leq \frac{500 J}{3 m c_{V} T_{1}} = \frac{2}{21} \approx 9, 5 % . \end{matrix}

Az utolsó lépésnél kihasználtuk a gáztörvény

p_{1} V_{1} = (m / M) R T_{1}

alakját, továbbá azt, hogy a levegő állandó térfogaton vett

C_{V} = M c_{V}

mólhője

5 R / 2

-vel egyenlő.

Czompó Sz. Csaba (Sepsiszentgyörgy, Mikes K. Líceum, 10. o.t.) és

Ballók István (Gödöllő, Premontrei Szt. Norbert Gimn., 11. o.t.) dolgozata alapján

Megjegyzések. 1. Az optimális hatásfokhoz

x = 2

és

y = \frac{12}{7}

arányszámok tartoznak. Érdekes, hogy sem ezek a számok, sem pedig a maximális termikus hatásfok nem függ a levegő kezdeti hőmérsékletétől, hanem csak a

p_{1} V_{1}

szorzat és a megadott

L

munkavégzés arányától, továbbá a fajhőhányadostól.
2. Ha a levegő fajhőhányadosát nem az ,,elméleti''

\frac{7}{5}

-ös értéknek vesszük, hanem a ténylegesen mért értékekkel számolunk, a maximális hatásfokra

10, 6 %

-ot kapunk.