Kezdőlap


Feladat:	3296. fizika feladat	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Békási Sándor , Szamosújvári Ilona , Varjú Péter
Füzet:	2000/november, 505 - 506. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Rugalmas erő, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1999/december: 3296. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A párhuzamosan kapcsolt rugók eredő direkciós ereje:

\begin{matrix} d_{p} = \sum_{i = 1}^{N} d_{i}, \end{matrix}

a sorba kapcsolt rugóké pedig

\begin{matrix} d_{s} = {(\sum_{i = 1}^{N} \frac{1}{d_{i}})}^{- 1} . \end{matrix}

Tekintsük a

\begin{matrix} P (x) = \sum_{i = 1}^{N} {(\sqrt[]{d_{i}} - \frac{x}{\sqrt[]{d_{i}}})}^{2} = a x^{2} + b x + c \geq 0 \end{matrix}

polinomot! Ennek legfeljebb 1 gyöke lehet (

x = d_{1} = d_{2} = ... = d_{N})

, a diszkriminánsa tehát nem pozitív:

b^{2} \leq 4 a c,

azaz

\begin{matrix} 1 \leq (\frac{1}{N} \sum_{i = 1}^{N} d_{i}) \cdot (\frac{1}{N} \sum_{i = 1}^{N} \frac{1}{d_{i}}) . \end{matrix}

Ez a számtani és a harmonikus közepekre vonatkozó egyenlőtlenség, melyből következik, hogy a rugók száma:

\begin{matrix} N \leq \sqrt[]{\frac{d_{p}}{d_{s}}} = \sqrt[]{\frac{1874}{52}} = 6. \end{matrix}

Szamosújvári Ilona (Bp., ELTE Apáczai Csere J. Gyak. Gimn., 11. o.t.) és

Varjú Péter (Szeged, Radnóti M. Gimn., 11. o.t.) dolgozata alapján

Megjegyzés. A számtani és a harmonikus közepek akkor egyenlőek, ha valamennyi

d_{i}

megegyezik, tehát a rugók egyforma erősek. Ha a feladat szövegében szereplő ,,különféle rugó'' kifejezést úgy értjük, hogy a rugók adatai határozottan különböznek, akkor

N

,,matematikailag'' legfeljebb 5 lehet. Vegyük figyelembe azonban azt a tényt is, hogy a fizikai mennyiségek nagysága mindig valamilyen pontossággal megadott, kerekített számérték, s a rugók (vagy más jellemző adatok) egyenlőségét vagy különbözőségét csak a megadott pontosságon belül szabad vizsgálnunk. Pl. a 309, 310, 311, 313, 314 és 315-ös számok összege 1872, a reciprokaik összegének reciproka pedig

51, 997 \approx 52, 00,

ezek a számok tehát eleget tesznek a feladat követelményeinek, jóllehet nincs közöttük két egyforma.

Békási Sándor (Budapest, Veres Péter Gimn., 11. o.t.)