Kezdőlap


Feladat:	3297. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Gáspár Merse Előd
Füzet:	2000/október, 441 - 443. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Bolygómozgás, Kepler törvények, Newton-féle gravitációs erő, Egyéb (tömegpont mozgásegyenletével kapcsolatos), Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1999/december: 3297. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A két golyóból álló rendszer tömegközéppontja ‐ külső erő hiányában ‐ mindvégig nyugalomban marad. A golyók között ‐ mindaddig, míg össze nem ütköznek ‐ csak a középpontjaik távolságának négyzetével fordítottan arányos erő hat. Ha az egyik golyó éppen $x$ távol van a tömegközépponttól (vagyis a golyók távolsága $2 x$ ), akkor erre a golyóra

\begin{matrix} F (x) = - f \frac{m^{2}}{{(2 x)}^{2}} \end{matrix}

(

m = 1

kg) erő hat. Ugyanekkora erővel vonzaná egy

M = \frac{1}{4} m

tömegű, rögzített helyzetű pontszerű test is a tőle

x

távolságban levő

m

tömegű golyót. A továbbiakban úgy tekintjük a mozgást, mintha az ténylegesen egy ilyen, rögzített vonzócentrum hatására menne végbe.
Kezdetben

x = x_{{max}_{}^{}} = 0, 5

m, az ütközés pillanatában pedig

x = x_{{min}_{}^{}} = r

, ahol

r

az egyik ólomgolyó sugara, melyet a tömege (

m

) és a sűrűsége (

ϱ

) ismeretében könnyen kiszámíthatunk:

\begin{matrix} r = \sqrt[3]{\frac{3 m}{4 π ϱ}} = 2, 76 cm . \end{matrix}

Látható, hogy

x_{{max}_{}^{}} ≫ x_{{min}_{}^{}}

, emiatt ‐ első közelítésben ‐ hanyagoljuk el a golyók méretét!
Ha a golyó egy

x_{{max}_{}^{}}

sugarú körpályán keringene a vonzócentrum körül, akkor a körmozgás dinamikai egyenlete:

\begin{matrix} f \frac{M}{x_{{max}_{}^{}}^{2}} = x_{{max}_{}^{}} {(\frac{2 π}{T_{0}})}^{2} \end{matrix}

lenne, ahonnan a keringés ideje

\begin{matrix} T_{0} = π \sqrt[]{\frac{16 x_{{max}_{}^{}}^{3}}{f m}} . \end{matrix}

A kezdősebesség nélkül induló és emiatt a vonzócentrumba zuhanó test pályája elfajult (

e = 1

excentricitású) ellipszisként is felfogható. Ennek a pályának a nagytengelye éppen fele az előbb vizsgált körpályáénak, az ellipszispályán tehát a teljes keringési idő (Kepler III. törvénye értelmében)

\begin{matrix} T_{e} = \frac{T_{0}}{\sqrt[]{8}} = π \sqrt[]{\frac{2 x_{{max}_{}^{}}^{3}}{f m}} \end{matrix}

lenne. A vonzócentrumba zuhanás ideje a keringési időnek azonban csak a fele:

\begin{matrix} T \approx \frac{T_{e}}{2} = π \sqrt[]{\frac{x_{{max}_{}^{}}^{3}}{2 f m}} = 9, 62 \cdot 10^{4} s = 26^{h} 43' . \end{matrix}

A golyók véges mérete miatt az ütközésig eltelő idő a fenti értéknél egy kicsiny

Δ T

-vel kevesebb. Az energiamegmaradás tételéből kiszámíthatjuk, hogy a golyók sebessége közvetlenül az ütközésük előtt

\begin{matrix} v_{{max}_{}^{}} = \sqrt[]{f m (\frac{1}{2 x_{{min}_{}^{}}} - \frac{1}{2 x_{{max}_{}^{}}})} \approx \sqrt[]{\frac{f m}{2 x_{{min}_{}^{}}}} = 3, 5 \cdot 10^{- 5} \frac{m}{s} . \end{matrix}

Ha a pontszerűnek tekintett testek a mozgás hátralevő részében mindvégig ezzel a sebességgel mozognának, a golyók sugarának megfelelő távolságot kb. 800 s alatt tennék meg. Mivel azonban a sebességük nem állandó, hanem egyre növekszik,

Δ T < 800

s. Ez a teljes mozgási időnek kevesebb, mint 1 százaléka, tehát (a többi adat pontosságát is figyelembe véve) nyugodtan elhanyagolható.

Több dolgozat alapján

Megjegyzés.

Δ T

integrálszámítással, vagy Kepler III. törvényének alkalmazásával pontosabban is kiszámítható és 540 s-nak adódik.

Gáspár Merse Előd (Fazekas M. Főv. Gyak. Gimn., 12. o.t.)