Kezdőlap


Feladat:	3291. fizika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Hegyi Márta , Székely Attila
Füzet:	2000/október, 440 - 441. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Hidrogénatom színképe, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1999/november: 3291. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A hidrogén és a deutérium atomi színképe két okból tér el egymástól:
$(i)$ A foton kisugárzásakor az atom hátralökődik (úgy, hogy az összes impulzus nulla maradjon), a felszabaduló energia egy része tehát az atom mozgási energiáját fedezi. A ténylegesen észlelhető frekvencia (a mag tömegét $M$ -mel jelölve) $h f^{2} / 2 M c^{2}$ -tel kisebb, mint az energiaszintek távolságából számított érték. Ez a legrosszabb esetben is csak $E_{0} / 2 M c^{2} = 7 \cdot 10^{- 9}$ nagyságú relatív eltolódást jelent ( $E_{0}$ az alapállapoti energia). Ez olyan kicsi effektus, hogy elhanyagolhatjuk.
$(i i)$ A hidrogénatom energiaszintjeit megadó Balmer-formula kicsit módosul, ha az elektron nem rögzített vonzócentrum, hanem a közös tömegközéppont körül mozog. Ez a jelenség az izotópeffektus, amelyet pl. úgy számíthatunk ki, hogy a Bohr-féle kvantumfeltételt (miszerint az elektron perdülete a $2 π$ -vel osztott Planck-állandó egész számú többszöröse kell legyen) általánosítjuk, a rendszer teljes perdületére követeljük meg az impulzusnyomaték ,,kvantáltságát''. A számítás eredménye az energiaszintekre:

\begin{matrix} E_{n} = - \frac{2 π^{2} k^{2} e^{4} m_{r}}{h^{2} n^{2}} . (n = 1, 2, 3, ...) \end{matrix}

A képletben

m_{r}

az elektron redukált tömegét jelöli:

\begin{matrix} m_{r} = \frac{m_{e}}{1 + m_{e} / M} . \end{matrix}

Ebből a hidrogén (

M = m_{p}

) és a deutérium (

M \approx 2 m_{p}

) egymásnak megfelelő színképvonalaira

\begin{matrix} \frac{Δ f}{f} = \frac{m_{e}}{2 m_{p}} \approx 2, 7 \cdot 10^{- 4} \end{matrix}

relatív eltérés adódik.

Hegyi Márta (Budapest, Szent István Gimn., 10. o.t.) és

Székely Attila (Kecskeméti Református Kollégium Gimnáziuma, 12. o.t.)

dolgozata alapján

Megjegyzés. A Bohr-féle kvantumfeltétel csak a hidrogénszerű (egyetlen elektront tartalmazó) atomokra adja meg helyesen az atomi energiaszinteket, és ezek segítségével az atomi átmenetek során kisugárzott vagy elnyelt fotonok frekvenciáját. A mikrorészecskék mozgását, viselkedését teljesebben leíró kvantummechanika nemcsak a hidrogénszerű, hanem tetszőleges számú elektront tartalmazó atomokra is alkalmazható és a tapasztalattal jól egyező eredményt ad.