Feladat: 3154. fizika feladat Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Pozsonyi Gergő 
Füzet: 2000/május, 304 - 305. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Merev test egyensúlya, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1998/április: 3154. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A körző tömegközéppontja mindig a felfüggesztési pont alatt kell legyen. Ha a szárak nyílásszögét változtatjuk, az egyes szárak tömegközéppontja vízszintes irányban is elmozdul, de a felezőpontjuk (a rendszer tömegközéppontja) csak függőlegesen mozoghat.
Belátjuk, hogy a csukló akkor lesz a legmagasabban, amikor a körző alsó szára vízszintes. Induljunk ki ebből a helyzetből (1. ábra), és képzeljük el egy pillanatra, hogy a körző felső (felfüggesztett) szárát rögzítetten tartjuk. Ha a másik (kezdetben vízszintes) szárat valamerre (akár felfele, akár pedig lefele) döntjük, a tömegközéppontja a körző csuklójához vízszintes irányban közeledik. Ha most a felső szár rögzítését megszüntetjük, ez a szár mindenképpen lefelé kell elmozduljon, mert csak így érhető el, hogy a közös tömegközéppont továbbra is a felfüggesztési pont alatt maradjon.
Jelöljük a körző szárai közötti szöget 2θ-val, és válasszuk a szárak hosszát 2 egységnyinek! A 2. ábrán látható besötétített háromszögre (melyet 3. ábrán kinagyítva láthatunk) felírhatjuk a szinusztételt:

sinθ1=sin(90∘-2θ)sinθ,
melyből egyszerű átalakítások után
sinθ=13,azazθ≈35,3∘
adódik. A körző szárait tehát 2θ≈70,5∘-nyira kell kinyitnunk, ekkor lesz a csuklója a legmagasabban.
 Pozsonyi Gergő (Fazekas M. Főv. Gyak. Gimn., 10. o.t.) dolgozata alapján

 

Megjegyzés. A kérdéses 2θ nyílásszög a párhuzamos szelők tételének alkalmazásával is megkapható. Húzzunk a rendszer C tömegközéppontján át és a felső szár E tömegközéppontján át egy-egy függőleges egyenest (4. ábra). Ezek a 2θ nyílású szög szárainak párhuzamos szelői, tehát OE és EB egyenlőségéből FG=GO következik. Hasonló megfontolással a φ szögre: DC=CE miatt FG=DF. Ezek szerint az F és a G pontok harmadolják az OD szakaszt, amely viszont OE-vel egyenlő, vagyis OE=3GO. Mivel az EGO háromszög derékszögű, cos2θ=13, azaz 2θ≈70,5∘.
 (H. Gy.)