Kezdőlap


Feladat:	3303. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Hegedűs Ákos
Füzet:	2000/március, 189 - 191. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Merev test síkmozgása, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1999/december: 3303. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Jelöljük a rúd tömegközéppontjának pillantnyi kitérését $x$ -szel, szögelfordulását pedig $φ$ -vel! Ebből a két mennyiségből ki lehet számítani a fonál függőlegessel bezárt $α$ szögét:

\begin{matrix} l sin α - \frac{l}{2} sin φ = x . \end{matrix}

(1)

Ha a rudat csak kicsit lökjük meg,

x

φ

és

α

valamennyien kicsiny mennyiségek, négyzetük és magasabb hatványaik elhanyagolhatók, a szögek szinusza magukkal a szögekkel, koszinuszuk pedig 1-gyel közelíthető, (1) egyenlet pedig így írható:

\begin{matrix} x = l (α - \frac{1}{2} φ) . \end{matrix}

(1')

A fonalat feszítő erőt

K

-val jelölve a következő mozgásegyenletek írhatók fel:

\begin{matrix} m g - K = 0 \end{matrix}

(2)

(mert a rúd függőleges irányú gyorsulása az alkalmazott közelítésben elhanyagolhatóan kicsi),

\begin{matrix} K α = - m a \end{matrix}

(3)

(ez a rúd vízszintes irányú mozgásegyenlete

sin α \approx α

közelítésben), valamint a tömegközéppontra vonatkoztatott forgási egyenlet:

\begin{matrix} \frac{1}{12} m l^{2} \cdot β = - \frac{l}{2} K (α + φ) . \end{matrix}

(4)

(

β

φ

szög változására jellemző szöggyorsulást jelöli.)
Tételezzük fel, hogy mind

x (t)

, mind pedig

α (t)

az időnek szinuszos függvénye:

\begin{matrix} x (t) = x_{0} sin ω t, illetve a (t) = - x_{0} ω^{2} sin ω t, \end{matrix}

(5)

\begin{matrix} φ (t) = φ_{0} sin ω t, valamint β (t) = - φ_{0} ω^{2} sin ω t, \end{matrix}

(6)

ahol

ω

(a rezgés körfrekvenciája) valamekkora, később meghatározandó szám. Ha

x

és

φ

időben szinuszosan változik, akkor

(1')

szerint ugyanilyen jellegű függvény kell legyen

α

is, ami annyit jelent, hogy a

φ

szög minden pillanatban az

α

szöggel arányos, annak

k

-szorosa:

\begin{matrix} φ (t) = k \cdot α (t), \end{matrix}

(7)

(

k

időtől független állandó). Az (1)‐(7) egyenletekből

k

-ra egy másodfokú egyenletet kaphatunk:

\begin{matrix} 3 k^{2} - 2 k - 6 = 0, \end{matrix}

amelynek gyökei:

\begin{matrix} k_{1} = \frac{1 + \sqrt[]{19}}{3} \approx 1, 79, illetve k_{2} = \frac{1 - \sqrt[]{19}}{3} \approx - 1, 12. \end{matrix}

A rezgés körfrekvenciáját az

\begin{matrix} ω^{2} = \frac{6 g}{l} \frac{k + 1}{k} = \frac{g}{l} (5 \pm \sqrt[]{19}) \end{matrix}

összefüggést írhatjuk fel, ahonnan

k

kiszámított értékeinek felhasználásával

\begin{matrix} ω_{1,2} = \sqrt[]{\frac{g}{l} (5 \pm \sqrt[]{19})}, \end{matrix}

tehát

\begin{matrix} ω_{1} = 3, 06 \sqrt[]{\frac{g}{l}}, ω_{2} = 0, 81 \sqrt[]{\frac{g}{l}} \end{matrix}

adódik^{$^{*}$}Ezeket a frekvenciákat a csatolt rezgő rendszer sajátfrekvenciáinak, a megfelelő

k

értékek által meghatározott amplitúdó-arányokat pedig normálmódusoknak nevezik. A nagyobb frekvenciájú normálmódusban

k > 0

, tehát a fonál és rúd az ábrán látható módon ellenkező irányban hajlik el a függőlegestől. A másik (alacsonyabb frekvenciájú normálmódusban a fonál és a rúd a függőlegeshez képest ugyanolyan irányban, de különböző mértékben hajlik. Mindkét módus tisztán periodikus mozgás, jól meghatározott frekvenciával jellemezhető..
A rendszer általános mozgása a kétféle normálrezgés szuperpoziciója:

\begin{matrix} φ (t) = φ_{0}^{(1)} sin ω_{1} t + φ_{0}^{(2)} sin ω_{2} t, \end{matrix}

illetve

\begin{matrix} α (t) = \frac{φ_{0}^{(1)}}{k_{1}} \cdot sin ω_{1} t + \frac{φ_{0}^{(2)}}{k_{2}} \cdot sin ω_{2} t . \end{matrix}

φ_{0}^{(1)}

és

φ_{0}^{(2)}

amplitúdókat a rendszer kezdeti feltételeiből lehet meghatározni. A rúd felső végére kifejtett erőlökés hatására a rúd tömegközéppontja

F Δ t / m

sebességgel kezd el mozogni, az erőlökés forgatónyomatéka pedig

6 F Δ t / (m l)

kezdeti szögsebességet hoz létre. Ez a két adat egyértelműen meghatározza a normálmódusok amplitúdóját:

\begin{matrix} φ_{0}^{(1,2)} = \pm 3 \frac{\sqrt[]{5 \pm \sqrt[]{19}}}{\sqrt[]{19}} \frac{F Δ t}{m \sqrt[]{l g}}, \end{matrix}

és a szögelfordulások ismeretében megadhatjuk a rúd legalsó pontjának elmozdulását is:

\begin{matrix} \begin{matrix} x_{P} (t) = l (α - φ) = \\ = \frac{F Δ t}{m} \sqrt[]{\frac{l}{g}} \cdot (\frac{(\sqrt[]{19} - 7) \sqrt[]{5 + \sqrt[]{19}}}{2 \sqrt[]{19}} sin ω_{1} t + \frac{(\sqrt[]{19} + 7) \sqrt[]{5 - \sqrt[]{19}}}{2 \sqrt[]{19}} sin ω_{2} t) \end{matrix} \end{matrix}

^{$^{*}$}*