Kezdőlap


Feladat:	3283. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Antal Ágnes , Gáspár Merse Előd , Hegedűs Ákos , Ivaskó György , Kóbor János , Madarász Ádám , Máthé András , Pozsgay Balázs
Füzet:	2000/március, 183 - 184. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Egyéb merev test egyensúlya, Rugalmas erő, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1999/október: 3283. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Jelöljük a jobb első kerék rugója által kifejtett függőleges erőt (a gépkocsi eredeti, vízszintes helyzetében) $F_{JE}$ -vel, a többi keréknél fellépő erők pedig legyenek rendre $F_{BE}$ , $F_{JH}$ és $F_{BH}$ . Ezen erők a gépkocsira ható többi erővel (a gépkocsi és a benne ülő személyek súlyával) tartanak egyensúlyt, és a forgatónyomatékuk a súlypontra vonatkoztatva nulla.
Ha a gépkocsi a jobb első kerekével a járdára áll, a rugóerők megváltoznak, nagyságuk $F'_{JE} = F_{JE} + Δ F_{JE}$ stb. lesz (irányuk azonban jó közelítéssel továbbra is függőleges marad). Az új (vesszővel jelölt) erőrendszerre ugyanaz érvényes, mint a vesszőtlenre (eredője és forgatónyomatéka változatlan), emiatt a $Δ F_{i}$ erők rendszerének hatása az eredő erőt és az eredő forgatónyomatékot tekintve egyaránt nulla.
Az erőnövekmények forgatónyomatéka nem csak a tömegközéppontra, de bármely tengelyre, így például a jobb első és a bal hátsó kerék közepét összekötő egyenesre vonatkoztatva nulla kell legyen. Ez akkor teljesül, ha

\begin{matrix} Δ F_{BE} = Δ F_{JH} = F_{0} . \end{matrix}

Hasonló megfontolással (a másik átlóra vonatkoztatott forgatónyomaték eltűnéséből) kapjuk, hogy

\begin{matrix} Δ F_{BH} = Δ F_{JE} = - F_{0} . \end{matrix}

(Kihasználtuk azt is, hogy a négy erő összege nulla kell egyen.)
A rugóerők megváltozása a rugók hosszának megváltozásával arányos. A rugóerők megváltozására kapott összefüggések tehát azt jelentik, hogy ha a bal hátsó kerék rugója (a korábbi, egyenes úton álló autó helyzetéhez képest) összenyomódik valamekkora

Δ_{B H} = x

értéket, akkor ugyanennyivel nyomódik össze a jobb első kerék rugója is, a másik két keréknél pedig

x

-szel tágulnak a rugók.
A gépkocsi karosszériája a jobb hátsó és a bal első kerekeknél

x

-szel megemelkedik, ugyanennyivel kell emelkedjék a merev gépkocsi közepe is. A bal hátsó keréknél a kocsiszekrény

x

-szel lesüllyed, a jobb első keréknél pedig

3 x

értékkel kell megemelkedjen, hiszen a kocsi közepének emelkedése az átlósan elhelyezkedő kerekeknél észlelt emelkedések számtani közepe.) Másrészt viszont a jobb első kerék rugójának összenyomódása

x

, a járda magassága

8 cm

, fenn kell tehát álljon, hogy

\begin{matrix} 8 cm - x = 3 x, ahonnan x = 2 cm . \end{matrix}

Megfontolásaink során nem használtuk ki, hogy mekkora a gépkocsi utasainak tömege, sem pedig a tömegközéppont helyét, az eredmény tehát független az utasok számától és elhelyezkedésétől.
Ha a gépkocsi mindkét jobb oldali kerekével felhajt a járdára, akkor a rugók összenyomódása nem változik meg, a kocsi karosszériája a jobb oldalon 8 cm-rel magasabbra kerül, a bal oldalon viszont változatlan magasságban marad. Ezt pl. úgy láthatjuk be, hogy megfontoljuk: a jobb és a bal oldali rugóerő-növekmények összege és forgatónyomatékuk összege csak úgy lehet nulla, ha mindegyikük külön-külön is nulla. Úgy is érvelhetünk, hogy a két kerékkel járdaszegélyre hajtás két egymás utáni döccenésre bontható. Amikor a jobb első kerékkel hajtunk a járdára, ennél a keréknél 6 cm-t, a jobb hátsónál pedig 2 cm-t emelkedik a kocsi karosszériája. Amikor a jobb hátsó kerék kerül a járdára, a szerepek felcserélődnek. A két emelkedés szuperpozícióját képezve kapjuk, hogy mindkét jobb oldali keréknél összesen 8 cm-t emelkedik a kocsiszekrény, s hasonlóan adódik, hogy a bal oldalon nem változik a rugók hossza.

Több megoldás alapján

Megjegyzés. A leírtak érvényüket vesztik, ha az egyik kerékkel egy olyan magas járdára hajtunk, hogy valamelyik másik kerék a levegőbe kerül.