Kezdőlap


Feladat:	3282. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Madas Balázs
Füzet:	2000/március, 182 - 183. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Egyéb elektromos mező, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1999/október: 3282. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Helyezzünk el a szimmetriatengelyen a kör középpontjától $x$ távolságban egy kicsiny $q$ töltést. Erre a próbatöltésre a kör alakú vezeték valamely $Δ Q$ nagyságú töltésdarabkája a Coulomb-törvénynek megfelelő

\begin{matrix} q \cdot | Δ E | = k \frac{q Δ Q}{R^{2} + x^{2}} \end{matrix}

nagyságú erőt fejt ki (1. ábra).

1. ábra

Ezen erők összege (szimmetria-okok) a szimmetriatengely irányába mutat, emiatt úgy is kiszámítható, hogy az az elemi erőhatások

x

tengely irányú vetületeit összegezzük:

\begin{matrix} q E = \sum q E_{x} = \sum q | Δ E | \cdot cos α = \sum k q Δ Q \frac{x}{{(R^{2} + x^{2})}^{3 / 2}} = k q \frac{Q}{R^{2}} \frac{(x / R)}{{(1 + {(x / R)}^{2})}^{3 / 2}} . \end{matrix}

Bevezetve az

u = x / R

dimenziótlan változót, az elektromos térerősséget a szimmetriatengely mentén az

\begin{matrix} E (u) = k \frac{Q}{R^{2}} \frac{u}{{(1 + u^{2})}^{3 / 2}} = K \cdot \frac{u}{{(1 + u^{2})}^{3 / 2}} \end{matrix}

formulával adhatjuk meg. Ennek a kifejezésnek keressük a maximumát, vagyis azt az

u

értéket, ahol a

K

(állandó) szám mellett álló kifejezés a legnagyobb értékét veszi fel.

2. ábra

Ábrázolva az

u / {(1 + u^{2})}^{3 / 2}

kifejezést

u

függvényében (2. ábra) megállapíthatjuk, hogy a maximumát

u \approx 0, 7

-nél éri el. Az elektromos térerősség tehát a kör középpontjától

x \approx 0, 7 R

távolságban a legerősebb. A maximum helye (pl. a függvény

u = 0, 7

körüli részének kinagyításával) természetesen pontosabban is meghatározható.

Madas Balázs (Budapest, ELTE Apáczai Csere J. Gyak. Gimn., 10. o.t.)

Megjegyzés. A szélsőérték helye differenciálszámítás segítségével is meghatározható. A térerősség az 1. ábrán látható

α

szöggel is kifejezhető:

\begin{matrix} E = K \cdot sin^{2} α cos α = K \cdot (cos α - cos^{3} α) = K (y - y^{3}), \end{matrix}

ahol

y = cos α

. Az

E (y)

függvény lokális maximumánál az

E' (y) = K (1 - 3 y^{2})

derivált nulla kell legyen, ez pedig

cos α = 1 / \sqrt[]{3},

azaz

x = R / \sqrt[]{2} \approx 0, 707 R

távolságnál teljesül.

Fábián Ákos (Debrecen, KLTE Gyak. Gimn. 12. o.t.)