Feladat:	3261. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Hegyi Péter ,  Terpai Tamás ,  Tóth Bálint
Füzet:	2000/február, 116 - 118. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Egyéb kényszermozgás, Egyéb (tömegpont mozgásegyenletével kapcsolatos), Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1999/május: 3261. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.   I. megoldás. A helyzeti energia megváltozásából ki tudjuk számítani a test $B$ pontbeli sebességét: $\begin{array}{c}{\displaystyle v=\sqrt[]{2g\Delta h}=\sqrt[]{2\cdot 9\mathrm{,}8\cdot 1}\text{m/s}=4\mathrm{,}4\text{m/s}\mathrm{.}}\end{array}$ 1. ábra   A nyomóerőt a lejtőre merőleges irányú mozgásegyenletből számíthatjuk ki: $\begin{array}{c}{\displaystyle K=mg\text{sin}{45}^{\circ }+\frac{m{v}^2}{R}\mathrm{,}}\end{array}$ ehhez azonban ismernünk kellene a pályagörbe $R$ görbületi sugarát (a pályagörbét a kérdéses $B$ pontban legjobban közelítő kör sugarát). Mivel az $y=1/x$ egyenletű hiperbola szimmetrikus az $y=x$ egyenesre, ezért a simulókör középpontja rajta lesz ezen az egyenesen, koordinátáit tehát kereshetjük $\left(k\mathrm{,}k\right)$ alakban. Az 1. ábráról leolvasható, hogy a kör sugara $r=\sqrt[]{2}\left(k-1\right)\mathrm{,}$ az egyenlete tehát: $\begin{array}{c}{\displaystyle {\left(x-k\right)}^2+{\left(y-k\right)}^2=2{\left(k-1\right)}^2\mathrm{.}}\end{array}$ Ezen egyenlet által leírt körnek és az $y=1/x$ egyenletű hiperbolának a metszéspontjait az $\begin{array}{c}{\displaystyle {\left(x-k\right)}^2+{\left(\frac{1}{x}-k\right)}^2=2{\left(k-1\right)}^2}\end{array}$ egyenlet gyökei adják meg, amely algebrai átalakítások után így is felírható: $\begin{array}{c}{\displaystyle {\left(x+\frac{1}{x}\right)}^2-2k\left(x+\frac{1}{x}\right)+4\left(k-1\right)=0.}\end{array}$ Ez az egyenlet az $u=x+x^{-1}$ új változóra nézve másodfokú, és az $x=y=1$ azaz $u=2$ nyilvánvaló megoldáson kívül akkor nincs több megoldása, ha a $D=4k^2+4\left(4k-1\right)$ diszkrimináns negatív vagy nulla: A simulókörnek éppen a $D=0$ határeset felel meg, ez pedig $k=2$-nél teljesül. A simulókör sugara tehát $R=\sqrt[]{2}\text{m,}$ a kérdéses nyomóerő pedig $\begin{array}{c}{\displaystyle K=mg\text{sin}{45}^{\circ }+\frac{m{v}^2}{R}=mg\left(\frac{\sqrt[]{2}}{2}+\sqrt[]{2}\right)\approx 2\mathrm{,}1\text{N. }}\end{array}$  Hegyi Péter (Budapest, Szent István Gimn., 12. o.t.) és    Terpai Tamás (Fazekas M. Főv. Gyak. Gimn., 12. o.t.) dolgozata alapján   II. megoldás. A pálya görbületi sugarát fizikai megfontolások segítségével is meghatározhatjuk. Ha egy pontszerű test valamilyen (ismert alakú) erő hatására éppen hiperbola pályán mozog, akkor Newton II. törvényét felhasználva kiszámíthatjuk a test centripetális gyorsulását, majd abból a pálya görbületi sugarát. (Ez a mennyiség nyilván csak a pályagörbétől függ, nem pedig attól, hogy milyen módon halad végig a kérdéses pályán a vizsgált test.) 2. ábra   Kepler I. törvénye szerint az égitestek a Nap gravitációs erőterében kúpszelet alakú pályákon mozognak, és ha a sebességük elegendően nagy, akkor a pályájuk hiperbola. Használjuk ki, hogy az $y=1/x$ egyenletű hiperbola egyik fókuszpontja a $\left(\sqrt[]{2}\mathrm{,}\sqrt[]{2}\right)$ pontban van. Képzeljük el, hogy ebben a fókuszpontban van a Nap, és a pozitív $y$ tengely irányából alkalmasan választott $v_0$ sebességgel közeledik hozzá egy $m$ tömegű kicsiny test (2. ábra). A perdületmegmaradás tétele szerint a Naphoz legközelebbi $B$ pontban $v$ sebességgel haladó testre fennáll $\begin{array}{c}{\displaystyle m{v}_0\sqrt[]{2}=mv\left(2-\sqrt[]{2}\right)\mathrm{,}}\end{array}$ az energiamegmaradás törvényéből pedig $\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{1}{2}m{v}_0^2=\frac{1}{2}m{v}^2-f\frac{mM}{2-\sqrt[]{2}}}\end{array}$ következik. Ezekből az összefüggésekből $\begin{array}{c}{\displaystyle v^2=\sqrt[]{2}\frac{fM}{{\left(2-\sqrt[]{2}\right)}^2}}\end{array}$ adódik, melyet az $\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{m{v}^2}{R}=\frac{fmM}{{\left(2-\sqrt[]{2}\right)}^2}}\end{array}$ mozgásegyenletbe helyettesítve a $B$ pontbeli görbületi sugárra $R=\sqrt[]{2}$ m-t kapunk. A számítás további menete megegyezik az I. megoldásban leírtakkal.  Tóth Bálint (Fazekas M. Főv. Gyak. Gimn., 12. o.t.)   Megjegyzés. A görbületi sugár differenciálszámítás segítségével is meghatározható: $\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{1}{R}=\frac{y\text{'}\text{'}}{{\left(1+y{\text{'}}^2\right)}^{3/2}}=\frac{2\cdot x^{-3}}{{\left(1+{\left[-x^{-2}\right]}^2\right)}^{3/2}}=\frac{2}{2^{3/2}}=\frac{1}{\sqrt[]{2}}\mathrm{.}}\end{array}$