Kezdőlap


Feladat:	3229. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Füzet:	2000/február, 114 - 115. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Rugalmatlan ütközések, Ütközés fallal, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1999/február: 3229. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A test egyrészt veszít az energiájából a súrlódás miatt, másrészt az ütközéseknél. A kezdeti mechanikai energiája

\begin{matrix} E_{0} = m g h . \end{matrix}

Addig, amíg lecsúszik a lejtő aljára, a súrlódási erő által végzett munka:

\begin{matrix} W_{0} = F_{s} l = μ m g cos α \frac{h}{sin α} = μ m g h ctg α . \end{matrix}

(A lejtőre merőleges támasztóerő

m g cos α

.) Közvetlenül a pattanás előtt a test mozgási energiája

\begin{matrix} E_{1} = E_{0} - W_{0} = m g h (1 - μ ctg α) . \end{matrix}

Mivel az ütközéskor a sebesség

k

-szorosára csökken ezért a mozgási energia

k^{2}

-szeresére. Visszapattanás után a test

h_{2}

magasságba emelkedik, ekkor az energiája:

\begin{matrix} E_{2} = m g h_{2} = k^{2} E_{1} - μ m g h ctg α, \end{matrix}

innen

\begin{matrix} h_{2} = \frac{h k^{2} (1 - μ ctg α)}{1 + μ ctg α} . \end{matrix}

Ezután a folyamat megismétlődik, és a maximális magasságok egy mértani sort alkotnak, amelynek hányadosa

\begin{matrix} q = \frac{k^{2} (1 - μ ctg α)}{1 + μ ctg α} . \end{matrix}

Így az összesen megtett út:

\begin{matrix} s_{összes} = \frac{h}{sin α} (1 + 2 (q + q^{2} + q^{3} + ...)) . \end{matrix}

Mivel

q < 1

, ezért a sor felösszegezhető:

\begin{matrix} s_{összes} = \frac{h}{sin α} (1 + \frac{2 q}{1 - q}) \approx 4, 46 m . \end{matrix}

A test egyenletesen gyorsuló mozgást végez, de más a gyorsulása fölfelé, mint lefelé. Két pattanás között eltelt idő:

\begin{matrix} t_{i} = t_{fel} + t_{le} = \sqrt[]{\frac{h_{i}}{sin α}} (\sqrt[]{\frac{2}{g (sin α + μ cos α)}} + \sqrt[]{\frac{2}{g (sin α - μ cos α)}}) = C \sqrt[]{\frac{h_{i}}{sin α}} . \end{matrix}

Látható, hogy ez a megtett út négyzetgyökével arányos, csupán az első lecsúszást kell külön figyelembe venni. A megállásig eltelt idő:

\begin{matrix} t_{összes} = t_{1} + C \sqrt[]{\frac{h}{sin α}} (\sqrt[]{q} + \sqrt[]{q^{2}} + ...) = t_{1} + C \sqrt[]{\frac{h}{sin α}} (\frac{\sqrt[]{q}}{1 - \sqrt[]{q}}) \approx 3, 94 s . \end{matrix}

Több dolgozat alapján