Kezdőlap


Feladat:	3219. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Ambrus Gergely , Bálint Gergely , Fábián Ákos , Hegedűs Ákos , Horváth Balázs , Horváth Gábor , Huszár Péter , Jung János , Kerekes József , Koch Dénes , Paukovics Diána , Terpai Tamás
Füzet:	2000/február, 112 - 113. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Egyéb kényszermozgás, Munkatétel, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1999/január: 3219. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A testre az ábrán látható $m g$ gravitációs erő, a lejtőre merőleges $K$ kényszererő, és az $S$ súrlódási erő hat.

A test körpályán halad, így a kényszererőnek nem csupán a gravitációs erő lejtőre merőleges komponensét kell ellensúlyoznia, hanem a centripetális gyorsulást is biztosítania kell, vagyis

\begin{matrix} K = m g cos (90^{\circ} - α) + m \frac{v {(α)}^{2}}{r} . \end{matrix}

Így a súrlódási erő

\begin{matrix} S = μ (m g sin α + m \frac{v^{2} (α)}{r}) . \end{matrix}

Ha a test éppen eljutna a

B

pontba és ott megállna, akkor a helyzeti energia változása fedezné a súrlódási munkát, azaz

\begin{matrix} Δ E_{h} = \frac{1}{2} m g r = \int_{0^{\circ}}^{150^{\circ}} μ m r (g sin α + \frac{v {(α)}^{2}}{r}) d α . \end{matrix}

Közelítsük az integrált alulról úgy, hogy a

v^{2} / r

tagot elhagyjuk. Ekkor

\begin{matrix} \frac{1}{2} m g r > μ m g r {[- cos α]}_{0^{\circ}}^{150^{\circ}}, azaz \frac{1}{2} > μ (1 + \frac{\sqrt[]{3}}{2}) . \end{matrix}

Innen

μ < 0, 2679

kellene fennálljon, de ez egyik esetben sem teljesül, vagyis a test sem az

a)

sem a

b)

esetben nem jut el a

B

pontba.

Megjegyzés. Az

a)

esetben a fentinél egyszerűbben is beláthatjuk, hogy a test nem juthat el a

B

pontba, hiszen a helyzeti energiájának csökkenése (

m g r / 2

) még a

B

ponttal azonos magasságú

B'

ponttól

B

-ig végzett súrlódási munkát sem fedezi. Ez utóbbi ugyanis biztosan nagyobb, mint a

B B'

ív

2 r π / 3

hosszának és a súrlódási erő ezen pályán felvett legkisebb értékének (a

B

pontban éppen megálló testre ható

μ m g / 2

-nek) a szorzata. (A

B

pontnál mélyebben egy nagyon lassan mozgó testre sugár irányban nagyobb kényszererő hat, mint a

B

pontban, s a mozgás ezt csak még inkább növeli.)