Kezdőlap


Feladat:	3351. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Antal Ágnes , Börzsönyi Ádám , Fábián Ákos , Hegedűs Ákos , Horváth Balázs , Kurucz Keve , Lipcsei Gábor , Mics Zoltan , Pápai Péter , Pápai Tivadar , Pozsgay Balázs , Reischig Péter
Füzet:	2000/december, 561 - 562. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Tökéletesen rugalmas ütközések, Pontrendszer impulzusa, Rezgőmozgás (Tömegpont mozgásegyenlete), Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2000/május: 3351. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Közvetlenül az ütközés után a $m$ , illetve a bal oldali $M$ tömegű test sebessége (az energia és az impulzus megmaradásáanak törvénye alapján) rendre

\begin{matrix} v = \frac{m - M}{m + M} v_{0}, V = \frac{2 m}{m + M} v_{0} . \end{matrix}

Ettől fogva az R rendszer tömegközéppontja

V / 2

sebességgel halad, miközben a rendszer

\begin{matrix} ω = \sqrt[]{\frac{2 k}{M}} \end{matrix}

körfrekvenciával úgy rezeg, hogy a sebesség-amplitúdó is

V / 2

. Így a bal oldali

M

tömegű test elmozdulása és pillanatnyi sebessége (az ütközés pillanatát véve

t = 0

-nak)

\begin{matrix} S (t) = \frac{V}{2} t + \frac{V}{2 ω} sin ω t, V (t) = \frac{V}{2} + \frac{V}{2} cos ω t . \end{matrix}

Ugyanakkor a

m

tömegű test egyenletesen mozog, tehát az elmozdulása

\begin{matrix} s (t) = v t . \end{matrix}

Egy újabb ütközéskor

\begin{matrix} s (t) = S (t) azaz v t = \frac{V}{2} t + \frac{V}{2 ω} sin ω t . \end{matrix}

,,Rendes" ütközéskor a balról jövő

m

tömegű test sebessége nagyobb mint az előtte haladó bal oldali

M

tömegűé, ellenkező esetben a balról jövő test nem képes utolérni a másikat. Határesetben az ütköző testek sebessége azonos (éppen, hogy csak érintik egymást):

\begin{matrix} v = V (t), azaz v = \frac{V}{2} + \frac{V}{2} cos ω t . \end{matrix}

Innen

\begin{matrix} - \frac{M}{m} = cos ω t és - \frac{M}{m} ω t = sin ω t . \end{matrix}

A két egyenletből kapott

ω t = tg ω t

egyenlet megoldása numerikusan könnyen megkapható:

ω t_{1} = 4, 4934 \approx 4, 5.

Ebből a kérdéses tömegarány

m / M = 4, 60,

és az ütközésig eltelt idő

ω

ismeretében megkapható.

Reischig Péter (Budapest, Eötvös J. Gimn., 12. o.t.) dolgozata alapján