Feladat:	3328. fizika feladat	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Hamar Gergö
Füzet:	2000/december, 561. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Egyenesvonalú mozgás lejtőn, Egyenletesen változó mozgás (Változó mozgás), Csúszó súrlódás, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2000/március: 3328. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.   Megoldásvázlat. Legyen a lejtő alapjának hossza $d$. Ha $\text{<span style="font-weight: normal;font-style: normal;">tg</span>}\alpha >\mu$, egy test a lejtőn $\begin{array}{c}{\displaystyle t=\sqrt[]{\frac{2d}{g\left(\text{sin}\alpha \text{cos}\alpha -\mu \text{cos}{}^2\alpha \right)}}=\sqrt[]{\frac{4d}{g\left(\text{sin}2\alpha -\mu \left(1+\text{cos}2\alpha \right)\right)}}}\end{array}$ idő alatt csúszik le. Ez az idő annál az $\alpha$ szögnél a legkisebb, amelynél a $\text{sin}2\alpha -\mu \text{cos}2\alpha$ kifejezés a lehető legnagyobb. Bevezetve a $\mu =-\text{<span style="font-weight: normal;font-style: normal;">ctg</span>}\phi$ jelölést a fenti kifejezés $\begin{array}{c}{\displaystyle \text{sin}2\alpha -\mu \text{cos}2\alpha =\frac{1}{\text{sin}\phi }\cdot \text{cos}\left(2\alpha -\phi \right)}\end{array}$ alakra hozható. Ennek maximuma nyilván $2\alpha =\phi$ szögnél van, tehát a kis test $\begin{array}{c}{\displaystyle \alpha =\frac{1}{2}\text{arc}\text{<span style="font-weight: normal;font-style: normal;">ctg</span>}\left(-\mu \right)=\frac{\pi }{4}+\frac{1}{2}\text{arc}\text{<span style="font-weight: normal;font-style: normal;">tg</span>}\mu }\end{array}$ szögű lejtőről csúszik le leghamarabb.   Megjegyzés. A kérdéses szög $\alpha =\text{arc}\text{<span style="font-weight: normal;font-style: normal;">tg</span>}\left(\mu +\sqrt[]{{\mu }^2+1}\right)$ alakban is felírható. Súrlódásmentes esetben ($\mu =0$) az optimális hajlásszög $\alpha ={45}^{\circ }$.  Hamar Gergő (Dombóvár, Illyés Gy. Gimn. 10. o.t.)