Kezdőlap


Feladat:	3311. fizika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Antal András
Füzet:	2000/december, 559 - 560. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Egyenáram, Elektromos mező energiája, energiasűrűsége, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2000/január: 3311. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Nyitott kapcsoló esetén a sorosan kapcsolt kondenzátorok eredő kapacitása

\begin{matrix} C_{n} = \frac{C_{1} C_{2}}{C_{1} + C_{2}}, \end{matrix}

a rendszer elektrosztatikus energiája tehát

\begin{matrix} E_{n} = \frac{1}{2} C_{n} U^{2} = \frac{1}{2} \frac{C_{1} C_{2}}{C_{1} + C_{2}} U^{2} . \end{matrix}

Zárt kapcsolóállásnál a kondenzátorokra jutó feszültség az ellenállások arányában megoszló telepfeszültség, vagyis

\begin{matrix} U_{1} = \frac{R_{1}}{R_{1} + R_{2}} U, illetve U_{2} = \frac{R_{2}}{R_{1} + R_{2}} U . \end{matrix}

A rendszet elektrosztatikus energiája ilyenkor

\begin{matrix} E_{z} = \frac{1}{2} C_{1} U_{1}^{2} + \frac{1}{2} C_{2} U_{2}^{2} = \frac{1}{2} \frac{C_{1} R_{1}^{2} + C_{2} R_{2}^{2}}{{(R_{1} + R_{2})}^{2}} U^{2} . \end{matrix}

A két energiát összehasonlítva megmutatjuk, hogy

E_{n} \leq E_{z},

vagyis hogy a kapcsoló zárása után a kondenzátorok elektrosztatikus energiája nem csökkenhet. Valóban:

\begin{matrix} \frac{E_{z}}{E_{n}} = \frac{(C_{1} R_{1}^{2} + C_{2} R_{2}^{2}) (C_{1} + C_{2})}{C_{1} C_{2} {(R_{1} + R_{2})}^{2}} = \frac{[C_{1}^{2} R_{1}^{2} + C_{2}^{2} R_{2}^{2}] + C_{1} C_{2} (R_{1}^{2} + R_{2}^{2})}{[2 C_{1} C_{2} R_{1} R_{2}] + C_{1} C_{2} (R_{1}^{2} + R_{2}^{2})}, \end{matrix}

és mivel a számlálóban álló szögletes zárójeles kifejezés a számtani és mértani közepekre vonatkozó egyenlőtlenség miatt biztosan nem kisebb, mint a nevezőben levő szögletes zárójelbeli, a tört értéke legalább 1.
Egyenlőség akkor állhat fenn, ha

C_{1} R_{1} = C_{2} R_{2}

, vagyis amikor a kapcsoló bekapcsolása előtt az ellenállások éppen olyan arányban osztják meg a telepfeszültséget, mint a sorosan kapcsolt kondenzátorok. Ilyenkor a kapcsoló bekapcsolása után sem indul áram (töltésvándorlás), nem változik meg a kondenzátorok töltése, a rendszer elektrosztatikus energiája tehát nyilvánvalóan változatlan marad.

Antal András (Pécs, JPTE. Babits M. Gyak. Gimn., 12. o.t.)