Feladat:	3243. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Gáspár Merse Előd ,  Jung János
Füzet:	2000/január, 60. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Rugalmas erő, Rezgőmozgás (Tömegpont mozgásegyenlete), Dimenzióanalízis, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1999/március: 3243. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.   I. megoldás. $a)$ Az eredetileg $L$ hosszú rugók megnyúlása $\begin{array}{c}{\displaystyle \Delta L=\sqrt[]{(L^2+x^2}-L\mathrm{,}}\end{array}$ a testre ható eredő erő tehát $\begin{array}{c}{\displaystyle F=-2D\Delta L\text{sin}\alpha =-2D\left(\sqrt[]{L^2+x^2}-L\right)\frac{x}{\sqrt[]{(L^2+x^2}-L}\mathrm{.}}\end{array}$ ($\alpha$ a kitérített helyzetű rugó szöge az eredeti irányához viszonyítva.) Az egyes rugók megnyúlására fennáll az $\begin{array}{c}{\displaystyle \Delta L\cdot \left(\Delta L+2L\right)=x^2}\end{array}$ összefüggés. Ha $x\ll L$, akkor $\Delta L\ll 2L$, a fenti zárójelben levő első tag tehát elhanyagolható a második mellett. Ebben a közelítésben $\begin{array}{c}{\displaystyle \Delta L\approx \frac{x^2}{2L}\mathrm{,}\text{illetve}F\approx -D\frac{x^3}{L^2}\mathrm{.}}\end{array}$ $b)$ Hogyan függ egy ilyen ‐ anharmonikus rezgést végző ‐ test periódusideje a legnagyobb kitéréstől? Mivel a rugók megnyúlása $x^2$-tel arányos, a bennük tárolt rugalmas energia a kitérítés 4. hatványával arányosan növekszik. Ha összehasonlítjuk az 1 cm-es és a 2 cm-es amplitúdójú rezgést, megállapíthatjuk, hogy a jobban kitérített testnél a rendszer teljes energiája $2^4=16$-szor nagyobb, mint a kevésbé kitérítettnél. Ugyanez az arány a legnagyobb mozgási energiák között is, amiből következik, hogy a jobban kitérített test legnagyobb sebessége 4-szer nagyobb, mint az eredeti esetben volt. Hasonló érveléssel látható be, hogy a 2 cm-ről indított test sebessége nem csak az egyensúlyi helyzeten való áthaladáskor, hanem minden helyzetben 4-szerese az 1 cm-ről indított test megfelelő (felére kicsinyített helyzetű) sebességének, a teljes (2-szer hosszabb) utat tehát fele annyi idő alatt teszi meg, mint másik test. Ezek szerint a 2 cm-es amplitúdójú rezgés periódusideje 1 s.  Jung János (Bonyhád, Petőfi S. Gimn., 11. o.t.)   II. megoldás. $b)$ Keressünk kapcsolatot a periódusidő és az amplitúdó között egy olyan (anharmonikus) rezgőmozgásnál, melyet (kis kitérések esetén) az $F=-k\cdot x^3$ mozgásegyenlet ír le. A $T$ periódusidő függhet a $k$ ,,rugóállandótól'', a test $m$ tömegétől és a rezgés $A$ amplitúdójától. Ha megvizsgáljuk az egyes mennyiségek mértékegységeit, akkor rájöhetünk, hogy a kérdéses kapcsolat csakis $\begin{array}{c}{\displaystyle T\propto \sqrt[]{\frac{1}{k{A}^2}}}\end{array}$ alakú lehet. Ezek szerint adott $k$ (vagyis adott $D$ és $L$) esetén a periódusidő fordítottan arányos a legnagyobb kitéréssel, a kérdéses 2 cm-es amplitúdónál tehát $T=1\text{s}$.  Gáspár Merse Előd (Fazekas M. Főv. Gyak. Gimn., 11. o.t.)