Kezdőlap


Feladat:	3223. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Buella Csaba , Buruzs Ádám , Elizabeth Ann Almasi , Hegedűs Ákos , Kóbor János , Máthé András , Terpai Tamás , Tóth Bálint
Füzet:	1999/december, 559 - 561. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Erők forgatónyomatéka, Tapadó súrlódás, Csúszó súrlódás, Munka, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1999/január: 3223. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A rúdra ható függőleges erők egyensúlya és a forgatónyomatékok egyensúlya miatt a tömegközépponttól $x$ , illetve $y$ távolságra levő ujjakra

\begin{matrix} F_{x} = m g \frac{y}{x + y} és F_{y} = m g \frac{x}{x + y} \end{matrix}

erő hat.
Tegyük fel, hogy a rúd először a bal oldali ujjunknál csúszik meg. Ekkor ott a bal oldalon ható súrlódási erő

\begin{matrix} S = μ_{cs} \cdot F_{x} = μ_{cs} m g \frac{y}{x + y} . \end{matrix}

Ez az erő lassú (elhanyagolható vízszintes gyorsulású) mozgásnál megegyezik a jobb oldalon ható tapadó súrlódási erővel, amelynek legnagyobb értéke

\begin{matrix} μ_{t} F_{y} = μ_{t} m g \frac{x}{x + y} . \end{matrix}

Ezek szerint a bal oldali ujjunk addig csúszhat, míg

\begin{matrix} μ_{cs} \cdot y \leq μ_{t} \cdot x, azaz x \geq k \cdot y, \end{matrix}

ahol

k = μ_{cs} / μ_{t} \leq 1.

Kezdetben

x_{0} = y_{0} = \frac{1}{2} l

, a bal oldali ujjunk tehát ‐ helyről helyre változó nagyságú súrlódási erő ellenében ‐ az

x = x_{1} = k \cdot l / 2

értéknek megfelelő helyzetig csúszik. Az eközben végzett munka integrálással számítható ki:

\begin{matrix} W (x_{0} \to x_{1}) = - \int_{x_{0}}^{x_{1}} μ_{cs} F_{x} d x = μ_{cs} m g \int_{l / 2}^{k l / 2} \frac{l / 2}{x + (l / 2)} d x = m g μ_{cs} \cdot \frac{l}{2} ln \frac{2}{k + 1} . \end{matrix}

A második lépésben a jobb oldali ujjunk csúszik meg, miközben

x = x_{1}

állandó,

y

pedig változik

l / 2

-től

y_{1} = k x_{1} = k^{2} \cdot l / 2

-ig. A végzett munka

\begin{matrix} W (y_{0} \to y_{1}) = - \int_{y_{0}}^{k^{2} y_{0}} μ_{cs} m g \frac{x_{1}}{x_{1} + y} d y = m g μ_{cs} \frac{l}{2} \cdot k ln \frac{1}{k} . \end{matrix}

Hasonló módon számíthatók a további (hol az egyik, hol pedig a másik oldalon megcsúszó rúdnak megfelelő) munkavégzések is. A folyamat során végzett összes munka

\begin{matrix} \begin{matrix} W = m g μ_{cs} \frac{l}{2} [ln \frac{2}{1 + k} + (k + k^{2} + k^{3} ...) ln \frac{1}{k}] = \\ = m g μ_{cs} \frac{l}{2} [ln \frac{2}{1 + k} + \frac{k}{1 - k} ln \frac{1}{k}] = m g μ_{cs} \frac{l}{2} [ln \frac{2 μ_{t}}{μ_{cs} + μ_{t}} + \frac{μ_{cs}}{μ_{cs} - μ_{t}} ln \frac{μ_{t}}{μ_{cs}}] . \end{matrix} \end{matrix}

Amennyiben

μ_{cs} ≪ μ_{t}

(vagyis

k ≪ 1

), a munkavégzés gyakorlatilag egyetlen lépésben történik és

\begin{matrix} W \approx m g μ_{cs} \frac{l}{2} ln 2 . \end{matrix}

Ha viszont

μ_{t} \approx μ_{cs}

(azaz

k \approx 1

), akkor (mint az pl. zsebszámológéppel numerikusan ellenőrizhető)

\begin{matrix} \frac{1}{1 - k} ln \frac{1}{k} \approx 1, vagyis W \approx m g μ_{cs} \frac{l}{2} . \end{matrix}

Máthé András, (Budapest, ELTE Apáczai Csere J. Gyak. Gimn., 11. o.t.)

dolgozata alapján