Kezdőlap


Feladat:	3169. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Kóbor János
Füzet:	1999/november, 505 - 506. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Rugalmas erő, Munkatétel, Tömegpont mozgásegyenlete, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1998/május: 3169. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

$a)$ Jelöljük a rugalmas kötél direkciós erejét $D$ -vel, hosszát (nyújtatlan állapotban) $l_{0}$ -lal. A kötél hossza a legnagyobb megnyúláskor $l_{1} = h - h_{0} = 23$ m, egyensúlyi helyzetben pedig $l_{2} = 23 m - 8 m = 15 m$ .
Az elugrás pillanatában és a legmélyebb helyzetben az ugrást végző személy mozgási energiája nulla. Az energiamegmaradás törvénye szerint (a kötél tömegét elhanyagolva)

\begin{matrix} m g h = \frac{1}{2} D {(l_{1} - l_{0})}^{2} . \end{matrix}

(1)

Másrészt felhasználhatjuk, hogy az egyensúlyi helyzetben

\begin{matrix} m g = D (l_{2} - l_{0}) . \end{matrix}

(2)

A két egyenletet elosztva egymással

l_{0}

-ra másodfokú egyenletet kapunk:

\begin{matrix} l_{0}^{2} + 2 (h - l_{1}) l_{0} + (l_{1}^{2} - 2 h l_{2}) = l_{0}^{2} + 4 l_{0} - 221 = 0, \end{matrix}

amelynek pozitív megoldása:

l_{0} = 13

b)

Amikor a zuhanó test sebessége maximális, akkor a gyorsulása nulla; ilyenkor a rá ható erők eredője nulla kell legyen. Ez a későbbi egyensúlyi helyzetnek megfelelő

l = l_{2}

kötélhossznál következik be. Fejezzük ki

D

-t (2)-ből és használjuk ki az energiamegmaradás tételét:

\begin{matrix} \frac{m}{2} v^{2} + \frac{D}{2} {(l_{2} - l_{0})}^{2} = m g (h - l_{2}), \end{matrix}

\begin{matrix} D = \frac{m g}{l_{2} - l_{0}} . \end{matrix}

Ezekből a maximális sebességre

v \approx 18 m/s \approx 65 km/h

adódik.
A ,,halálugrást'' végrehajtó személy eleinte állandó (lefelé irányuló)

g

gyorsulással esik, majd amikor a kötél fokozatosan megfeszül, a gyorsulása egyre csökken, előjelet vált és egyre nagyobb, függőlegesen felfelé irányuló vektor lesz. A gyorsulás a pálya legmélyebb pontjában lesz a legnagyobb. Tekintettel arra, hogy a kötél legnagyobb megnyúlása (10 méter) éppen 5-szöröse az egyensúlyi helyzethez tartozó 2 méteres megnyúlásnak, a legnagyobb kötélerő az

m g

nehézségi erő 5-szörösével egyezik meg. Eszerint az ugróra ható legnagyobb eredő erő

4 m g,

a legnagyobb gyorsulása tehát

4 g

Kóbor János (Miskolc, Földes F. Gimn. 9. o.t.) dolgozata alapján

Megjegyzések. 1. A megoldás során többször felhasználtuk a mechanikai energiamegmaradás törvényét, vagyis feltételeztük, hogy az ugrás során a disszipatív folyamatok hatása (pl. a légellenállás és a kötél belső súrlódása) nem számottevő. Ez az első zuhanásnál (nem túl jó közelítésként) még elfogadható, de több lengésre már biztosan nem igaz, hiszen ha így lenne, akkor a mozgás sohasem csillapodna le.
2. Feltettük, hogy az ugró személy tömegközéppontja a testének kb. a közepénél, tehát 1 m magasan van. Hallgatólagosan azt is feltételeztük, hogy az ugrás végrehajtója a zuhanás legelején fordul a ,,feje tetejére'', de ezt viszonylag lassan teszi, s így a továbbiakban a forgásával nem kell foglalkoznunk.