A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Jelöljük a rugalmas kötél direkciós erejét -vel, hosszát (nyújtatlan állapotban) -lal. A kötél hossza a legnagyobb megnyúláskor m, egyensúlyi helyzetben pedig . Az elugrás pillanatában és a legmélyebb helyzetben az ugrást végző személy mozgási energiája nulla. Az energiamegmaradás törvénye szerint (a kötél tömegét elhanyagolva) Másrészt felhasználhatjuk, hogy az egyensúlyi helyzetben A két egyenletet elosztva egymással -ra másodfokú egyenletet kapunk: | | amelynek pozitív megoldása: m. Amikor a zuhanó test sebessége maximális, akkor a gyorsulása nulla; ilyenkor a rá ható erők eredője nulla kell legyen. Ez a későbbi egyensúlyi helyzetnek megfelelő kötélhossznál következik be. Fejezzük ki -t (2)-ből és használjuk ki az energiamegmaradás tételét: | | Ezekből a maximális sebességre adódik. A ,,halálugrást'' végrehajtó személy eleinte állandó (lefelé irányuló) gyorsulással esik, majd amikor a kötél fokozatosan megfeszül, a gyorsulása egyre csökken, előjelet vált és egyre nagyobb, függőlegesen felfelé irányuló vektor lesz. A gyorsulás a pálya legmélyebb pontjában lesz a legnagyobb. Tekintettel arra, hogy a kötél legnagyobb megnyúlása (10 méter) éppen 5-szöröse az egyensúlyi helyzethez tartozó 2 méteres megnyúlásnak, a legnagyobb kötélerő az nehézségi erő 5-szörösével egyezik meg. Eszerint az ugróra ható legnagyobb eredő erő a legnagyobb gyorsulása tehát .
Kóbor János (Miskolc, Földes F. Gimn. 9. o.t.) dolgozata alapján |
Megjegyzések. 1. A megoldás során többször felhasználtuk a mechanikai energiamegmaradás törvényét, vagyis feltételeztük, hogy az ugrás során a disszipatív folyamatok hatása (pl. a légellenállás és a kötél belső súrlódása) nem számottevő. Ez az első zuhanásnál (nem túl jó közelítésként) még elfogadható, de több lengésre már biztosan nem igaz, hiszen ha így lenne, akkor a mozgás sohasem csillapodna le. 2. Feltettük, hogy az ugró személy tömegközéppontja a testének kb. a közepénél, tehát 1 m magasan van. Hallgatólagosan azt is feltételeztük, hogy az ugrás végrehajtója a zuhanás legelején fordul a ,,feje tetejére'', de ezt viszonylag lassan teszi, s így a továbbiakban a forgásával nem kell foglalkoznunk.
|