Kezdőlap


Feladat:	3147. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Terpai Tamás
Füzet:	1999/november, 503 - 504. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Pontrendszerek mozgásegyenletei, Merev test mozgásegyenletei, Tehetetlenségi erők, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1998/március: 3147. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Legyen a kisebbik gömb szöggyorsulása $β_{1}$ , a nagyobbiké $β_{2}$ , a közös (vízszintes irányú) gyorsulásuk $a_{1}$ , a kocsi gyorsulása pedig $a_{2}$ .
A gömbök csúszásmentesen gördülnek, emiatt fennáll, hogy

\begin{matrix} R β_{2} = a_{2} - a_{1} és R β_{2} = r β_{1}, \end{matrix}

azaz

R = 2 r

miatt

\begin{matrix} β_{1} = 2 β_{2} = \frac{a_{2} - a_{1}}{r} . \end{matrix}

A kisebb gömb tehetetlenségi nyomatéka

\frac{2}{5} m r^{2}

, a vele azonos sűrűségű nagyobbé pedig

\frac{2}{5} \cdot 8 m \cdot {(2 r)}^{2} = \frac{64}{5} m r^{2}

. Az ábrán látható jelölésekkel a következő mozgásegyenleteket írhatjuk fel:

\begin{matrix} \begin{matrix} F - S = M a_{2}, \\ 8 m g + K_{1} - K = 0, S - K_{2} = 8 m a_{1}, \\ m g - K_{1} = 0, m a_{1} = K_{2}, \end{matrix} \end{matrix}

\begin{matrix} K_{1} r cos φ - K_{2} r sin φ = \frac{2}{5} m r^{2} β_{1}, 2 r S + 2 r K_{2} r sin φ - 2 r K_{1} r cos φ = \frac{64}{5} m r^{2} β_{2} . \end{matrix}

Ezekből az egyenletekből a mutatványos által kifejtett erőre

\begin{matrix} F = (9 m + \frac{7}{2} M) \frac{cos φ}{1 + sin φ} g \approx 79 N, \end{matrix}

adódik, a kocsi és a nagyobb gömb relatív gyorsulása pedig

\begin{matrix} Δ a = a_{2} - a_{1} = \frac{5}{2} \frac{cos φ}{1 + sin φ} g . \end{matrix}

Mivel az egyenletesen gyorsuló testek kezdősebessége nulla, az

L / 2

út megtételéhez szükséges idő

\begin{matrix} t = \sqrt[]{\frac{L}{Δ a}} = 0, 55 s. \end{matrix}

Terpai Tamás (Fazekas M. Főv. Gyak. Gimn. 11. o.t.)

Megjegyzés. Érdekes, hogy a kis gömb akár

φ = 0

szögnek megfelelő ,,vízszintes helyzetben'' is megmaradhat; véges nagyságú vízszintes

F

erővel megakadályozhatjuk, hogy függőleges irányban elmozduljon. Ilyenkor a két gömb között ható súrlódási erő tart egyensúlyt a kis gömbre ható gravitációs erővel. Sőt, még az is elképzelhető, hogy

φ < 0

szög mellett, tehát a kisebbik gömb ,,lefelé álló'' helyzetében (!) is bemutatható a mutatvány, ha a testek közötti súrlódási együttható elegendően nagy.

G.P.