Kezdőlap


Feladat:	3220. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Máthé András
Füzet:	1999/október, 444 - 445. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Nyomóerő, kötélerő, Egyéb síkmozgás, Tömegpont mozgásegyenlete, Bolygómozgás, Kepler törvények, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1999/január: 3220. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Először belátjuk, hogy az ellipszis görbületi sugara a tengelyek végpontjaiban $b^{2} / a$ , illetve $a^{2} / b$ , ahol $2 a$ és $2 b$ a nagytengely és a kistengely hossza. Ez a matematikai eredmény többféle fizikai meggondolással is levezethető, egy ilyen pl. a következő.
Tekintsük a $M$ tömegű Nap körül ellipszispályán keringő bolygót! A nagytengely végpontjában, a Naptól $r$ távolságban felírva Newton mozgásegyenletét:

\begin{matrix} \frac{γ M}{r^{2}} = \frac{v^{2}}{R}, \end{matrix}

ahol

R

a görbületi sugár a nagytengely végpontjában. A keringési idő (Kepler III. törvénye szerint,

2 π \sqrt[]{\frac{a^{3}}{γ M}}

, az ellipszis területe pedig

π a b

, ezért a területi sebesség a nagytengely végpontjában:

\begin{matrix} \frac{v r}{2} = \frac{a b}{2} \sqrt[]{\frac{γ M}{a^{3}}} . \end{matrix}

A két egyenlőségből

R = b^{2} / a

. (A gondolatmenetben kihasználtuk, hogy az ellipszis fókuszai a nagytengelyen vannak, ezért az a kistengely végpontjára így nem alkalmazható, de a görbületi sugár szempontjából a tengelyek szerepe szimmetrikus.)
A feladatban szereplő egyenletesen mozgó testre a tengelyek végpontjaiban fennáll az

F = m v^{2} / R

mozgásegyenlet,

R

a megfelelő görbületi sugár. Az adatokkal

b^{2} / a = 1,25 m

a^{2} / b = 10 m

, és

2 a = 10 m

2 b = 5 m

Máthé András (Budapest, Apáczai Cs. J. Gyak. Gimn., 11. o.t.)

Megjegyzés. Az ellipszis kérdéses görbületi sugarait a harmonikus rezgőmozgás kinematikájának ismert összefüggéseiből is kiszámíthatjuk. Tekintsük az

x - y

síkban

x = a cos ω t

és

y = b sin ω t

összefüggéseknek megfelelően (

a

és

b

féltengelyű) ellipszispályán mozgó testet.

t = 0

pillanatban a test az ellipszis egyik tengelyének végénél

v = b ω

sebességgel és

A = a ω^{2}

gyorsulással mozog. Másrészt viszont

A = v^{2} / R

, ahonnan a görbületi sugár:

R = b^{2} / a

. Hasonlóan kapjuk, hogy a másik tengely végpontjaiban az ellipszis simulókörének sugara

a^{2} / b