Kezdőlap


Feladat:	3211. fizika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Száraz Zoltán
Füzet:	1999/október, 441 - 442. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Mozgási indukció, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1998/december: 3211. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A feltöltött kondenzátor a rúdon keresztül elkezd kisülni. Az árammal átjárt rúdra a mágneses mezőben erő hat, a rúd elindul. (Az egyszerűség kedvéért tételezzük fel, hogy távolodik a kondenzátortól.) A mozgó rúdban feszültség indukálódik, ami a Lenz-törvény szerint akadályozza a rúdban folyó áramot. A kondenzátor feszültsége csökken, a rúdban indukálódó feszültség nő. Ez a folyamat addig tart, amíg a két feszültség ki nem oltja egymást, az áram megszűnik, a rúd egyenletes sebességgel mozog tovább.
A rúdban folyó áram nagysága

\begin{matrix} I = \frac{U_{c} - B l v}{R}, \end{matrix}

ahol

U_{c}

a kondenzátor feszültsége,

v

a rúd sebessége. A rúd mozgásegyenlete

m a = B I l

, más formában

\begin{matrix} \frac{Δ v}{Δ t} = - \frac{B l}{m} \frac{Δ Q_{c}}{Δ t} . \end{matrix}

(A negatív előjel azért kell, mert a kondenzátor töltése csökken.) Az egyenletből összegzéssel adódik:

\begin{matrix} v_{max} = \frac{B l}{m} (Q_{k} - Q_{v}), \end{matrix}

ahol

Q_{k}

, illetve

Q_{v}

a kondenzátor kezdeti, ill. végső töltése. A rúd nem gyorsul tovább, ha

I = 0

, azaz

\begin{matrix} U_{c} = \frac{Q_{v}}{C} = B l v_{max} = \frac{B^{2} l^{2}}{m} (Q_{k} - Q_{v}) . \end{matrix}

Innen a kondenzátor végső feszültsége

\begin{matrix} U_{v} = \frac{Q_{v}}{C} = \frac{C U B^{2} l^{2}}{m + C B^{2} l^{2}}, \end{matrix}

a rúd végsebessége pedig

\begin{matrix} v_{max} = \frac{C U B l}{m + C B^{2} l^{2}} . \end{matrix}

A rúd mozgási energiája

\begin{matrix} \frac{1}{2} m v_{max}^{2} = \frac{C^{2} U^{2} B^{2} l^{2}}{2} \frac{m}{{(m + C B^{2} l^{2})}^{2}} . \end{matrix}

Ez akkor a legnagyobb, ha

\begin{matrix} \frac{{(m + C B^{2} l^{2})}^{2}}{m} = {(\sqrt[]{m} + \frac{C B^{2} l^{2}}{\sqrt[]{m}})}^{2} \end{matrix}

a legkisebb, ez pedig (a számtani és mértani középre vonatkozó egyenlőtlenség szerint) akkor teljesül, ha

m = C B^{2} l^{2}

Száraz Zoltán (Révkomárom, Selye János Gimn., 12. o.t.)

Megjegyzés. Optimális esetben a rúd mozgási energiája a kondenzátor kezdeti

C U^{2} / 2

energiájának éppen a negyede, az elektrosztatikus energia mechanikai energiává alakításának hatásfoka tehát a vizsgált folyamatban legfeljebb 25 százalékos lehet.