Feladat: 3213. fizika feladat Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):  Bacsárdi László ,  Friedl Zita ,  Gáspár Merse Előd ,  Hegedűs Ákos ,  Katona Gergely ,  Kiss Gergely ,  Kóspál Ágnes ,  Lengyel Tímea ,  Tóth Bálint 
Füzet: 1999/május, 316 - 318. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Gyűjtőlencse, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1998/december: 3213. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Tételezzük fel, hogy a gömb átlátszó (tehát a felületének bármely pontjából eljuthat a fény a lencséhez), de a belsejének törésmutatója nem különbözik a levegőétől, így a fénysugarak csak a lencsénél törnek meg. (A gyakorlatban ilyen helyzet például egy gömbfelület alakú, vékony, de nem nagyon sűrű szövésű dróthálóval valósítható meg.)
A gömbfelület forgásszimmetriája miatt elegendő a gömb egy síkmetszetének, az optikai tengelyre illeszkedő egyik főkörének képét meghatároznunk, a teljes kép ezen görbe megforgatásából adódó forgásfelület lesz.
Tekintsük a lencse egyik (F1) fókuszpontja körüli r sugarú kör valamely R pontját, és szerkesszük meg két nevezetes sugár segítségével az R-nek megfelelő P képpontot (1. ábra). Célszerű a P pontot a másik (F2) fókuszpontba helyezett derékszögű koordináta-rendszerbeli (x,y) számpárral jellemezni.
Az OR'R és OP'P háromszögek hasonlóságából

yx+f=Tt,
az F2P'P és F2OQ háromszögek hasonlóságából pedig
yx=Tf
következik. (A szokásos módon t az R pontnak megfelelő tárgytávolságot, T pedig a tárgy méretét jelöli.) Ezekből az arányokból T és t kifejezhető x és y segítségével:
T=fyx,illetvet=f+f2x.
Használjuk ki, hogy R és F1 távolsága r:
(t-f)2+T2=r2,
ahonnan t és T behelyettesítése és algebrai átalakítások után
(rxf2)2-(yf)2=1
adódik. Ez az összefüggés egy hiperbolát ír le, melynek az optikai tengellyel párhuzamos ,,valós féltengelye'' f2/r, ,,képzetes féltengelye'' pedig f hosszúságú. (Ugyanez az összefüggés természetesen a ,,lencsetörvény'' és a ,,nagyítási törvény'' alkalmazásával is megkapható.)
A teljes gömbfelület képe a hiperbola mindkét ágának megforgatásából adódó ún. kétköpenyű forgáshiperboloid lesz (2. ábra). A gömb egyik (t>f módon jellemezhető) felének képe valódi kép, az ábra jobb oldalán látható hiperboloid-köpeny. A másik (a lencséhez közelebb eső) félgömb képe látszólagos (virtuális) kép, ennek a bal oldali ,,köpeny'' felel meg. A lencse fókuszsíkjában fekvő kör pontjairól nem jön létre kép, a hozzá közeli pontok képei pedig valamelyik hiperboloid-felületen nagyon messze (határesetben a ,,végtelenben'') alakulnak ki. (Ha a gömb nem átlátszó, akkor természetesen csak a lencséhez közelebbi felének virtuális képe jön létre.)
 Több dolgozat alapján 

 
Megjegyzés. A megoldás során feltételeztük, hogy a lencse vékony, és hogy a képalkotás torzításmentes. Ez utóbbihoz az (is) szükséges, hogy a képalkotásban résztvevő fénysugarak az optikai tengellyel majdnem párhuzamosan haladjanak, ez pedig akkor teljesül, ha a lencse fókusztávolsága a gömb sugaránál is és a lencse átmérőjénél is sokkal nagyobb. A megoldásban szereplő ábrák méretaránya tehát a erősen torzított, vagy ha ténylegesen ilyenek az arányok, akkor a kiszámított képfelületnek csak egy kis darabját szabad elfogadnunk.
Hasonló okok miatt nincs sok értelme a lencsébe nyúló, vagy azt magába foglaló gömb (r≥f) esetét tanulmányoznunk. Matematikailag érdekes ugyan a paraméterek teljes tartományának vizsgálata, és az r>f eset a ,,dróthálóba bujtatott'' lencsével még fizikailag is megvalósítható, a leképezés torzításai miatt azonban ennek elemzése a ténylegesen tapasztalható képalkotás szempontjából érdektelen.