Kezdőlap


Feladat:	3201. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Füzet:	1999/május, 310 - 311. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Nyomóerő, kötélerő, Mozgó elektromos töltésre ható erő (Lorentz-erő), Energiamegmaradás tétele, Körmozgás (Tömegpont mozgásegyenlete), Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1998/november: 3201. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A kis test sugárirányú mozgását leíró egyenlet:

\begin{matrix} m \frac{v^{2}}{R} = m g cos φ - K \pm Q v B, \end{matrix}

ahol

K

a henger által a testre kifejtett kényszererő, a

Q v B

nagyságú Lorentz-erő előjele a mágneses mező irányától függ. Súrlódásmentes csúszás esetén a test mechanikai energiája állandó:

\frac{1}{2} m v^{2} = m g R (1 - cos φ)

, amiből

v = \sqrt[]{2 g R (1 - cos φ)}

. A test akkor válik el a hengertől, amikor a kényszererő nullává válik. A

v

sebesség előző kifejezését behelyettesítve azt kapjuk, hogy

\begin{matrix} K = m g (3 cos φ - 2) \pm Q B \sqrt[]{2 g R (1 - cos φ)} = 0. \end{matrix}

E másodfokú egyenletből

\begin{matrix} cos φ = \frac{12 - p \pm \sqrt[]{p^{2} + 12 p}}{18}, \end{matrix}

ahol

p

\frac{2 Q^{2} B^{2} R}{m^{2} g}

dimenziótlan mennyiséget jelöli. A négyzetgyök előtt pozitív (negatív) előjel áll, ha a Lorentz-erő a henger középpontja felé (azzal ellentétesen) mutat.
Mágneses mező nélkül (

p = 0

esetén) a kis test a

cos φ = \frac{2}{3}

-nak megfelelő

φ \approx 48, 2^{\circ}

-nál válik el a hengertől. Ha a Lorentz-erő befelé mutat, akkor minél erősebb a mágneses tér (minél nagyobb

p

), annál kisebb lesz

cos φ

, tehát annál nagyobb lesz a kis test lerepülési helyére jellemző

φ

szög.

p > \frac{25}{2}

esetben nincs megoldás (

cos φ < - 1

kellene teljesüljön), a test tehát sehol nem válik el a hengertől. (Ehhez persze nagy töltés vagy nagyon erős mágneses mező szükséges). Ha a Lorentz-erő kifelé mutat, akkor

φ < 48, 2^{\circ}

B

növelésével

φ

egyre csökken és

B \to \infty

esetén

φ \to 0

Több megoldás alapján