Kezdőlap


Feladat:	3118. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Kocsis Bence , Sarlós Ferenc , Sipos András Árpád , Zawadowski Ádám
Füzet:	1999/április, 244 - 246. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Napi nap, csillagnap, A Föld forgása, Nappalok és éjszakák, A Föld keringése, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1997/december: 3118. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A jelenség arra vezethető vissza, hogy a napok deleléstől delelésig számított hossza az év során változik. Budapest a keleti szélesség 19. fokán van, az időzóna közepétől 4 fokkal keletre, ezért a Napnak (téli közép-európai idő szerint) 16 perccel dél előtt, 11 óra 44 perckor kellene delelnie. Az ettől való eltérést megadó összefüggést a csillagászok időegyenletnek nevezik. A delelés időpontjából levonva, illetve hozzáadva a nappal hosszának felét megkapjuk a napkelte, illetve a napnyugta időpontját, ezeket hasonlíthatjuk össze a zsebnaptárak adataival.
Először a nappal hosszát számítjuk ki. A napkelte és a napnyugta azzal jellemezhető, hogy a Nap sugarai merőlegesek a Föld középpontjából az adott földrajzi pontba mutató vektorra (1. ábra). Ha a Nap sugarai $δ$ szöget zárnak be az Egyenlítő síkjával (vagyis a Nap az Ekliptikán a $δ$ szélességi körön jár), akkor a sugarak irányvektora

\begin{matrix} e = (0, - cos δ, - sin δ) . \end{matrix}

θ

földrajzi szélességi pont helyvektora

\begin{matrix} r = R (cos θ cos t, cos θ sin t, sin θ), \end{matrix}

ahol

t = 360^{\circ} / 24 óra \cdot az eltelt idő

(valamely kezdeti időponthoz képest). A vektorok merőlegességéből adódik, hogy

\begin{matrix} e r = - R (cos θ cos t cos δ + sin θ sin δ) = 0, \end{matrix}

amiből

\begin{matrix} cos t = - tg θ tg δ . \end{matrix}

(1)

Az egyenlet

t_{1}

és

t_{2}

gyökeinek különbsége megadja az adott földrajzi szélességen és az adott napállásnál a nappal hosszát. Például az északi féltekén

(θ > 0)

nyáron

(δ > 0)

t_{1} - t_{2} > 12 h

. Előfordulhat, hogy az (1) egyenletnek nincs megoldása, mert a jobb oldal értéke nagyobb 1-nél. Ez azt jelenti, hogy az adott földrajzi szélességen a Nap nem megy le, vagy nem kel föl.
A következő feladat az időegyenlet megmagyarázása. Az egyes lexikonokban megtalálható furcsa alakú függvény két hatás együttes eredményeként származtatható: 1. A Föld az ellipszis pályán nem állandó szögsebességgel kering a Nap körül. 2. A Föld tengelyferdesége miatt a Nap látszólagos pályája (az Ekliptika)

γ = 23^{\circ} 27'

szöget zár be az Egyenlítővel, és a Nap az Ekliptikán mozog közelítőleg egyenletesen. Mindkét effektus kicsi, ezért hatásukat külön-külön határozzuk meg, majd ezeket összegezzük.
1. A Föld

T_{cs} = 23^{h} 56' 4''

alatt fordul meg a tengelye körül az állócsillagokhoz képest (csillagnap). Kepler II. törvénye (a perdületmegmaradás) szerint a keringés szögsebessége a Naptól való távolság négyzetével fordítottan arányos. Az átlagos szögsebesség

Ω_{átl} = 2 π / (365,241

nap, ezért a Földnek átlagosan

α_{átl} = 2 π / 365,241

szöggel kell déltől délig (napi nap) többet fordulnia, mint egy teljes fordulat. Ezért egy napi nap átlagosan

Δ T_{átl} = T_{cs} \cdot α_{átl} / (2 π) = 236 s

időtartammal hosszabb, mint egy csillagnap:

T_{n} = T_{cs} + 236 s = 24 h.

A Nap‐Föld távolság

R_{min} = 147,1 \cdot 10^{6} km

és

R_{max} = 152,1 \cdot 10^{6} km

között változik, átlagos értéke

R_{átl} = 149,6 \cdot 10^{6} km

. Kepler II. törvényét felhasználva azt kapjuk, hogy a csillagnaptól való legnagyobb, illetve legkisebb eltérés

Δ T_{{max}_{}^{}} = Δ T_{átl} \cdot {(R_{átl} / R_{{min}_{}^{}})}^{2} \approx 228

s, illetve

Δ T_{{min}_{}^{}} = Δ T_{átl} \cdot {(R_{átl} / R_{{max}_{}^{}})}^{2} \approx 224

s.
A Föld január 1-én, 2-án van legközelebb a Naphoz, ezért a napi nap ekkor a leghosszabb,

T_{{max}_{}^{}} = 24^{h} 8''

, július 3-án van a legtávolabb, ekkor

T_{{min}_{}^{}} = 23^{h} 59' 52''

. A pályaegyenlet alapján levezethető, hogy a kis excentricitás miatt a napok hossza közelítőleg egy

A_{Δ T} \approx 8 s

amplitúdójú koszinusz-függvény szerint változik:

\begin{matrix} T = 24 h + A_{Δ T} \cdot cos \frac{2 π (d - 1,5)}{365}, \end{matrix}

ahol

d

az év elejétől eltelt napok száma, az

1,5

-ös szám pedig a függvény január 1. és 2. közötti maximumából adódik. A kifejezés második tagja a delelés időpontjának egy napra jutó megváltozását adja meg, ezért a delelés időpontja (integrálással):

\begin{matrix} t_{D} = t_{D 0} + \frac{365}{2 π} \cdot A_{Δ T} \cdot sin \frac{2 π (d - 1,5)}{365} \approx 11^{h} 44' + 7,7' \cdot sin \frac{2 π (d - 1,5)}{365} . \end{matrix}

2. A Nap látszólagos mozgását az Ekliptikán közelítőleg egyenletesnek tekinthetjük (most elhanyagoljuk az ellipszispályából adódó kis hatásokat). Az Ekliptika az Egyenlítő síkjával

23^{\circ} 27'

szöget zár be, a Napnak az Egyenlítő mentén mért

Φ_{egy}

koordinátája nem egyenletesen változik. A 2. ábra alapján

\begin{matrix} \begin{matrix} tg Φ_{ekl} = \frac{N A}{N O}, tg Φ_{egy} = \frac{N' A}{N' O} \\ N' A = N A \cdot cos γ . \end{matrix} \end{matrix}

A fentiekből következik, hogy

\begin{matrix} tg Φ_{egy} = cos γ \cdot tg Φ_{ekl} . \end{matrix}

Az eltérésből

τ = 24^{h} (Φ_{ekl} - Φ_{egy}) / 360^{\circ}

időeltolódás adódik. (A Földnek még ennyit kell fordulnia ahhoz, hogy ott deleljen a Nap, ahol delelne akkor, ha az Ekliptika egybeesne az Egyenlítővel.) Meg lehet mutatni, hogy a

Φ_{ekl} - Φ_{egy}

különbség maximális értéke kb.

2, 5^{\circ}

. Kihasználva ennek kicsinységét, és azt, hogy

cos γ

közel van 1-hez, levezethető, hogy az így adódó időeltolódás jó közelítéssel

\begin{matrix} τ = 9,8' \cdot sin \frac{4 π (d + 9)}{365}, \end{matrix}

ahol

d

ismét az év elejétől eltelt napok száma, a

+ 9

pedig abból adódik, hogy a függvény december 22-én, a téli napfordulókor (és a nyári napfordulónál, meg a napéjegyenlőségek idején) veszi fel a nulla értéket. (Ekkor ugyanis

Φ_{ekl} = Φ_{egy} .

)
A delelés időpontját tehát (közelítőleg) a

\begin{matrix} t_{D} = 11^{h} 44' + 7,7' \cdot sin \frac{2 π (d - 1,5)}{365} + 9,8' \cdot sin \frac{4 π (d + 9)}{365} = 11^{h} 44' + Δ t \end{matrix}

(2)

függvény adja meg. A napkeltének és a napnyugtának a deleléshez viszonyítva egyszerre van szélsőértéke, nevezetesen december 22-én és június 22-én. A napkelte és a napnyugta valódi ideje viszont az időegyenlet miatt már nem ugyanakkor veszi fel szélsőértékét. Az időegyenletet a 3. ábra, a napkelte és napnyugta téli szélsőértékeit a 4. ábra mutatja.
Megjegyezzük még, hogy a nappal hosszát a fentieken kívül a légkör optikai hatása is befolyásolja (például március 21-én, a ,,napéjegyenlőségkor'' a nappal kb.

12^{h} 10'

hosszú).

G. L. és V. P.