Kezdőlap


Feladat:	3193. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Enyedi Balázs
Füzet:	1999/február, 122 - 123. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Tapadó súrlódás, Munka, Erők forgatónyomatéka, Súlypont (tömegközéppont) meghatározása, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1998/október: 3193. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A feladat megoldásához szükségünk van a félgömbhéj tömegközéppontjának helyére. Könnyen belátható, hogy ha egy gömbhéjat egymáshoz közeli párhuzamos síkokkal keskeny gömbövekre vágunk szét, akkor mindegyik gömböv felszíne (s ezzel arányosan a tömege) ugyanakkora lesz. Az 1. ábrán látható jelölésekkel ugyanis a vastag vonaldarabbal jelölt ív hossza $Δ x / sin α$ , a hozzá tartozó vékony gömböv sugara $R sin α$ , a gömböv felszíne pedig

\begin{matrix} 2 π R sin α \cdot \frac{Δ x}{sin α} = 2 π R Δ x, \end{matrix}

ami valóban független

α

-tól, tehát valamennyi gömbövre ugyanakkora. Innen már következik, hogy a félgömbhéj tömegközéppontja a gömb középpontjától

R / 2

távolságban van.
Tekintsük azt az egyensúlyi helyzetet, amikor a bogár éppen eléri a félgömbhéj peremét (2. ábra). A forgatónyomatékok egyensúlyából

\begin{matrix} \frac{R}{2} sin α \cdot M g = R cos α \cdot m g, \end{matrix}

ahonnan az ábrán látható elfordulási szögre

tg α = 2 m / M

adódik.

a)

A bogár

W

munkavégzése a rendszer helyzeti energiájának megváltozásával egyezik meg:

\begin{matrix} W = m g R (1 - sin α) + M g \frac{R}{2} (1 - cos α), \end{matrix}

ahonnan

tg α

fentebb kiszámított értékének felhasználásával algebrai átalakítások után végül

\begin{matrix} W = \frac{1}{2} R g (2 m + M - \sqrt[]{4 m^{2} + M^{2}}) \end{matrix}

b)

A bogár és a félgömbhéj közötti tapadási súrlódási együtthatónak legalább akkorának kell lennie, hogy a bogár még a legmeredekebb felületen, vagyis a perem közelében se csússzon meg. Ennek feltétele:

S \leq μ N

. A 2. ábráról leolvasható, hogy

S / N = ctg α

, a meg nem csúszás feltétele tehát:

\begin{matrix} μ \geq \frac{M}{2 m} . \end{matrix}

c)

A vízszintes asztal és a félgömbhéj közötti súrlódásnak a vizsgált kérdések szempontjából nincs szerepe. A bogár lassan mászik, tehát minden pillanatban egyensúlyban levőnek tekinthető a rendszer. Emiatt a rá ható erők eredője nulla kell legyen, s mivel vízszintes irányú külső erő nem hat, az asztalnál sem léphet fel számottevő súrlódási erő. A félgömbhéj tehát még nagyon csúszós asztalon sem csúszik meg (ha a bogár óvatosan mászik), s emiatt súrlódási munkával sem kell számolnunk.

Enyedi Balázs (Budapest, ELTE Apáczai Csere J. Gyak. Gimn. 11. o.t.)